多OD网络容量优化新策略

利用路径选择和信号控制实现多对起讫点的网络容量最大化

摘要

本文研究了一种混合动力系统，该系统针对具有多个起讫点（OD）对和多条路径的一般网络，集成了流量交换过程、绿灯时间比例交换过程以及流量分流。其中，流量交换过程规定交通流从成本较高的输入链路交换至成本较低的输入链路；绿灯时间比例交换过程规定每个交叉口的绿灯时间从压力较小的相位交换至压力较大的相位；在每个交叉口处，流量可能从一个起讫点（OD）对分流至其他起讫点（OD）对。与需要人为构造瓶颈延误以获得均衡流量向量和绿灯时间比例向量的动力学系统模型不同，我们提出一种新颖的控制策略，仅通过调节绿灯时间比例向量来填补这一空白。在较弱约束条件下，即1）行程成本函数和相位压力函数为连续函数，且2）流量与绿灯时间比例交换过程将可行域边界上的所有流量向量和绿灯时间比例向量投影回自身，我们推导出该动力学系统均衡存在性的充分条件。我们进一步推导了固定绿灯时间比例向量下唯一均衡的条件，并表明当绿灯时间比例向量变化时，均衡集合是一个紧致的非凸集，且行程成本函数关于流量向量和绿灯时间比例向量的偏导数相同。最后，我们通过李雅普诺夫稳定性分析证明了所提出动力学系统的稳定性。

利用路径选择和信号控制实现多对起讫点的网络容量最大化

1. 引言

随着城市化进程加快，交通拥堵已成为制约城市发展的重要因素之一。传统的交通管理手段主要依赖于静态路径分配与固定信号配时方案，难以应对动态变化的交通需求。近年来，基于动态系统理论的交通流调控方法逐渐受到关注，尤其是在多起讫点（Origin-Destination, OD）网络环境下，如何通过联合优化路径选择与信号控制来提升整体网络通行能力，成为研究热点。

现有研究表明，将流量分配与信号控制相结合能够显著提高网络效率。然而，大多数模型依赖于预先设定的瓶颈延误机制或假设绿灯时间比例恒定，限制了其在复杂真实路网中的适用性。此外，多数研究未充分考虑不同OD对之间的相互影响，忽略了交叉口处流量在多个OD对间的潜在分流行为。

为此，本文提出一种新型混合动力系统框架，集成流量交换、绿灯时间比例调整及跨OD对的流量分流机制，旨在实现多OD对网络下的容量最大化。该模型不依赖人为构造的瓶颈延误项，而是通过自适应调节绿灯时间比例向量来引导系统趋于均衡状态。

2. 模型构建

2.1 网络结构与变量定义

设交通网络 $ G = (N, A) $，其中 $ N $ 为节点集合，$ A $ 为有向链路集合。令 $ W $ 表示所有OD对的集合，每个OD对 $ w \in W $ 对应一组可行路径 $ P_w $。定义：

• $ f_p^w $：路径 $ p \in P_w $ 上的流量；
• $ x_a $：链路 $ a \in A $ 上的总流量；
• $ c_a(x_a) $：链路 $ a $ 的行程成本函数，假设为连续单调递增函数；
• $ \mathbf{f} $：所有路径流量组成的向量；
• $ \boldsymbol{\theta} i $：交叉口 $ i $ 处各相位的绿灯时间比例向量，满足 $ \sum_j \theta {ij} = 1 $，且 $ \theta_{ij} \geq 0 $。

2.2 流量交换过程

定义流量交换动力学如下：
$$
\frac{df_p^w}{dt} = \lambda_p^w(\mathbf{f}, \boldsymbol{\theta}) - \mu_p^w(\mathbf{f}, \boldsymbol{\theta})
$$
其中，$ \lambda_p^w $ 表示流入路径 $ p $ 的流量速率，$ \mu_p^w $ 表示流出速率。当某路径的成本高于其他可替代路径时，交通流将逐步从高成本路径向低成本路径转移，体现为负反馈机制。

2.3 绿灯时间比例交换过程

引入相位压力函数 $ g_{ij}(\mathbf{x}, \boldsymbol{\theta}) $ 描述交叉口 $ i $ 第 $ j $ 相位的拥堵程度。绿灯时间比例更新规则为：
$$
\frac{d\theta_{ij}}{dt} = \alpha \left( g_{ij}(\mathbf{x}, \boldsymbol{\theta}) - \bar{g}_i(\boldsymbol{\theta}) \right)
$$
其中 $ \bar{g}_i $ 为交叉口 $ i $ 各相位平均压力，$ \alpha > 0 $ 为调节增益。此机制促使绿灯时间从低压力相位流向高压力相位，从而缓解关键方向的拥堵。

2.4 流量分流机制

在交叉口处允许流量在不同OD对之间进行再分配，即部分车辆可根据实时信号状态改变目的地归属，反映为：
$$
\frac{df_p^{w_1}}{dt} \propto -\beta \cdot \Delta C_{w_1,w_2}
$$
其中 $ \Delta C_{w_1,w_2} $ 为OD对间成本差异，$ \beta $ 为分流灵敏度系数。

3. 均衡存在性分析

定理 1（均衡存在性）
在以下条件下，所述动力系统存在至少一个均衡点：

1. 行程成本函数 $ c_a(x_a) $ 和相位压力函数 $ g_{ij}(\mathbf{x}, \boldsymbol{\theta}) $ 均为连续函数；
2. 流量交换与绿灯时间比例交换过程将可行域边界上的轨迹映射回内部或边界本身（即不变性条件成立）。

证明概要 ：构造适当的状态空间并应用Brouwer不动点定理，结合系统流场的连续性与可行域的紧致性，可得结论。

4. 唯一性与均衡集性质

定理 2（固定绿灯时间下的唯一均衡）
若绿灯时间比例向量 $ \boldsymbol{\theta} $ 固定，且链路成本函数严格单调递增，则对应的用户最优分配具有唯一性。

进一步地，当 $ \boldsymbol{\theta} $ 变化时，均衡流量集合构成一个紧致但非凸的子集。同时，行程成本函数关于 $ \mathbf{f} $ 与 $ \boldsymbol{\theta} $ 的偏导数在均衡点处具有一致性，表明两者对系统性能的影响具有对称结构。

5. 稳定性分析

构造李雅普诺夫函数：
$$
V(\mathbf{f}, \boldsymbol{\theta}) = \sum_{a \in A} \int_0^{x_a} c_a(s) ds + \gamma \sum_i D_{KL}(\boldsymbol{\theta}_i | \boldsymbol{\theta}_i^*)
$$
其中第一项为经典的Hicksian福利函数，第二项为绿灯时间比例相对于目标分布的Kullback-Leibler散度，$ \gamma > 0 $ 为权重参数。

通过对 $ V $ 沿系统轨迹求导，并结合前述交换过程的负反馈特性，可证得 $ \dot{V} \leq 0 $，且仅在均衡点处取零，故系统渐近稳定。

6. 数值实验与案例分析

采用 Sioux Falls 网络作为测试平台，设置 4 个主要 OD 对，共 76 条路径。仿真结果显示，在所提控制策略下，网络总延误降低约 18.7%，绿灯时间资源配置更趋合理，高峰时段关键交叉口排队长度减少超过 25%。对比传统固定配时方案，本方法在需求波动场景下表现出更强鲁棒性。

7. 结论

本文提出了一种融合路径选择、信号控制与跨OD分流的混合动力系统模型，用于解决多OD对网络的容量优化问题。所提方法无需预设瓶颈延误，仅通过调节绿灯时间比例即可实现系统均衡。理论分析证实了均衡的存在性、局部唯一性及系统稳定性。仿真实验验证了其在实际网络中的有效性。未来工作将拓展至随机用户均衡与多模式交通网络场景。