15、线性代数与运动模拟：从联立方程到物理现象的计算

线性代数与运动模拟：从联立方程到物理现象的计算

联立方程的条件数与求解

在处理联立方程时，矩阵的条件数是一个重要的概念。条件数可以衡量一个矩阵离奇异矩阵的接近程度。条件数的计算公式为：
[
\kappa = |A||A^{-1}|
]
其中，
[
|A| = \left(\sum_{i,j} A_{i,j}^2\right)^{\frac{1}{2}}
]

在Python中，可以使用 numpy.linalg 模块的 cond 函数来计算条件数。以下是一些示例代码：

import numpy as np

# 矩阵1
M = np.array(((2, -3), (-4, 6)))
print(np.linalg.cond(M))

# 矩阵2
M = np.array(((2, -3), (-4, 6.00001)))
print(np.linalg.cond(M))

# 矩阵3
M = np.array(((3, 4), (1, -1)))
print(np.linalg.cond(M))

较大的条件数表示矩阵可能接近奇异，这可能会导致求解联立方程时出现问题。

联立方程在实际问题中的应用

联立方程在解决各种实际问题中非常有用，以下是几个具体的例子。

整数问题

已知两个整数，它们的和是16，且一个整数比另一个整数大4。设这两个整数分别为$x$和$y$，则可以列出以