local expansion

local expansion解读
1.graph cut（分成前景和背景）
2.Alpha-expansion（分成多个平滑平面）
3.local-expansion

grab cut

主要目的：通过在前景和背景各画几画作为输入，将建立各个像素点与前景背景相似度的赋权图，通过求解最小切割区分为前景和后景。

图的定义

顶点集V,边集E,图G可以定义为有序对G=(V,E)
graph cut分为两种顶点和边：
1,普通顶点对应图像中的每个像素。每两个领域顶点的链接就是一条边。（n-link）
2，两个终端顶点（S和T），每个普通顶点和这两个终端顶点之间有连接组成第二种边(t-links)

能量函数

寻找到一个割，使得前景背景分开，它的边的所有权值之和最小，那么这个就称为最小割，也就是图割的结果。所以图像分割可以看成像素标记问题，假设前景为0，背景为1.
能量函数定义为：$E(L) = \alpha R(L) +B(L)$
R(L)表示区域项，$R(L)=\sum_{p \in P}R_p(I_p), R_p(I_p)$表示像素p分配标签$I_p$的惩罚。就是t-link的权重
B(L)表示边界项，$B(L)=\sum_{{p,q}\in N}B_{<p,q>}\delta(l_p,l_q)$就是n-link的权重。

最小割最大流

目前的主要算法：
1) Goldberg-Tarjan
2) Ford-Fulkerson
3) 上诉两种方法的改进算法

Alpha-expansion

graph cut 将图片分为前景背景两个标签，而Alpha-expansion将图片分为多个标签。
该算法基于分块光滑的前提：1,这些量在块的内部变化平滑。2在块与快之间（物体边界）变化很大。
对于每一个像素点$p\in P$，用一个标签(label)$f_p \in L$，将每个像素$p$映射到标签集$L$的某个标签上。

目的：寻找标签函数f使得能量函数最小。

能量函数表达和graphcut 相似,其中
$E(f) = E_{smooth}(f)$（与graphcut的边界项对应）+ $E_{data}(f)$（与graphcut的区域项对应)
这里$E_{smooth}$表示f分块的不光滑程度，$E_{data}$表示f与观测到的数据的不一致性
Esmooth=∑{ p,q}∈NVp,q(fp,fq),Edata(f)=∑p∈P</