28、高维问题中的分类方法研究

高维问题中的分类方法研究

在高维问题的分类领域，针对不同的场景和数据特点，存在多种分类模型和方法。下面将详细介绍高斯朴素贝叶斯分类器、标准层次贝叶斯模型、特征共享经验贝叶斯模型，以及如何将特征共享模型应用于 fMRI 数据分类任务。

1. 高斯朴素贝叶斯分类器

高斯朴素贝叶斯分类器是一种常用的分类方法，它基于特征在给定类别变量下的独立性假设。对于特征 $j$ 的第 $i$ 个示例的似然性，使用正态高斯分布进行建模：
$X_{ij}|Y = c \sim N(\theta^{(c)} j, \sigma^{2(c)}_j)$，其中 $i = 1 \ldots N$，$N$ 是示例的总数。
联合似然性是所有特征上的乘积：
$P(X|Y = c) = \prod {j=1}^{J}P(X_j|Y = c)$
分类规则如下：
$\text{Predicted Class} = \arg\max_{c} P(Y = c) \prod_{j=1}^{J}P(X_j|Y = c) = \arg\max_{c} P(Y = c) \prod_{j=1}^{J}N(\hat{\theta}^{(c)} j, \hat{\sigma}^{2(c)}_j)$
这里，$\hat{\theta}^{(c)}_j$ 和 $\hat{\sigma}^{2(c)}_j$ 分别是每个特征 $j$ 和类别 $c$ 的样本均值和方差，先验概率 $P(Y = c)$ 由训练数据中的相对类别频率给出：
$\hat{\theta}^{(c)}_j = \frac{1}{\sum {i=1}^{N} \delta(Y_i = c)}