20、微积分入门与R语言实践

微积分入门与R语言实践

一、函数基础

1.1 函数对称性

函数具有多种特殊性质，函数对称性就是其中之一。
- 偶函数：若 (f(x) = f(-x))，则该函数为偶函数，例如 (f(x) = |x|)，(f(x) = x^2)，(f(x) = \cos(x))。
- 奇函数：若 (f(-x) = -f(x))，则该函数为奇函数，例如 (f(x) = x^3)。

1.2 增减性

函数还可以分为增函数和减函数。
- 增函数：在区间 ([a, b]) 上，对于任意的 (x_1 > x_2)，都有 (f(x_1) > f(x_2))，则函数在该区间上为增函数。
- 减函数：在区间 ([a, b]) 上，对于任意的 (x_1 > x_2)，都有 (f(x_1) < f(x_2))，则函数在该区间上为减函数。

1.3 函数斜率

直线的斜率 (m) 可以根据任意两点 ((x_1, y_1)) 和 ((x_2, y_2)) 来计算，公式为：
[m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}]
导数本质上就是函数在某点 (x = x_0) 处切线的斜率。

1.4 函数复合

函数复合指的是一个函数由多个嵌套函数组成的情况，记作 (f(g(x)) = (f \circ g)(x))。其映射顺序为：输入变量 (x) 先经过函数 (g(x)) 变换，再经过函数 (f(x)) 变换。在 (f(g(x))) 中，(g(x)) 是内层函数，(f(x)) 是外层函数。
例如，已知 (f(x)