19、主成分分析与微积分：R语言中的数学应用

主成分分析与微积分：R语言中的数学应用

1. 主成分分析（PCA）简介

在机器学习模型构建中，用于训练模型的数据集可能存在预测变量的冗余信息。这种冗余源于数据集中特征的相关性，在使用某些类型的模型时需要加以处理。主成分分析（PCA）是解决此类问题的常用技术，它可以降低数据集的特征维度，从而减少冗余。

1.1 特征向量与特征值

特征向量以列向量的形式返回。例如，对于一个矩阵 A ，可以通过以下方式访问第一个特征向量：

eigen(A)$vectors[,1]

对于一个 $n \times n$ 的方阵 A ，不同特征值的数量最多为 $n$。可以使用条件 det(A - λI) = 0 来验证特征值和特征向量的正确性。以下是对第一个特征值和特征向量的验证代码：

det(eigen_rst$values[1] * diag(2) - A)

同样，也可以验证第二个特征对。还可以基于原始方程 Av = λv 进行特征分解的验证：

A%*%eigen_rst$vector[,1] - eigen_rst$values[1]*eigen_rst$vector[,1]

1.2 PCA解决共线性问题

在构建机器学习模型时，预测变