17、R语言中的线性代数与矩阵运算

R语言中的线性代数与矩阵运算

1. 线性方程组求解的几何解释

1.1 唯一解情况

考虑一个包含两个未知数 (w_1) 和 (w_2) 的线性方程组：
(\begin{cases} w_1 + 3w_2 = 4 \ 2w_1 + 4w_2 = 6 \end{cases})
将其转化为用 (w_1) 表示 (w_2) 的形式：
(\begin{cases} w_2 = -\frac{w_1}{3} + \frac{4}{3} \ w_2 = -\frac{w_1}{2} + \frac{3}{2} \end{cases})
在二维坐标系中，每个方程代表一条直线，求解该线性方程组就相当于找到这两条直线的交点。以下是绘制这两条直线的R代码：

plot(x=1, y=1, xlab="w1", ylab="w2", xlim=c(0, 5), ylim=c(0, 5))
abline(a=4/3, b=-1/3)
abline(a=3/2, b=-1/2)

运行这段代码后，会发现两条直线相交于点 ((1,1))，这就是该线性方程组的唯一解。

1.2 无解情况

若要构造一个无解的线性方程组，可以让两条直线平行。例如：
(\begin{cases} w_1 + 3w_2 = 4 \ w_1 + 3(w_2 - 1) = 4 \end{cases})
同样转化为用 (w_1) 表示 (w_2) 的形式：
(\begin{cases} w_2 = -\frac{w_1}{3} + \frac{