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变分量子本征求解器（VQE）：原理、计算与应用
在量子计算领域，变分量子本征求解器（Variational Quantum Eigensolver，VQE）是一种强大的算法，它基于变分方法，能够解决复杂的优化问题。本文将深入探讨VQE算法的原理、量子计算机上的期望值计算方法、参数化量子电路（PQC）的构建，以及通过数值实验和实际应用来展示其有效性。
1. 变分量子本征求解器概述
参数化量子电路（PQC）在量子机器学习之外有广泛的应用，如投资组合优化和蛋白质折叠问题。VQE算法旨在找到问题哈密顿量的最小本征值（最低能量），因为许多NP难组合优化问题的目标函数可以编码在量子系统的哈密顿量中，找到哈密顿量的基态就相当于找到目标函数的最小值。
2. 变分方法
在训练判别式（QNN）和生成式（QCBM）模型时，我们的任务是找到PQC参数的最优配置，使得到的量子态具有所需的特性。这一过程通过最小化某个成本函数来实现，成本函数可以是分类误差或两个分布之间的距离。
当成本函数编码在问题哈密顿量中，任务是找到其基态时，我们可以使用变分方法。哈密顿量H的特征方程为$H |\psi_i\rangle = E_i |\psi_i\rangle$，目标是找到对应基态$|\psi_0\rangle$的最小本征值$E_0$。然而，在大多数情况下，基态是未知的，我们可以通过逐步构建更好的基态近似来找到它。
根据谱定理，Hermitian哈密顿量H可以展开为$H = \sum_{i} E_i |\psi_i\rangle\langle\psi_i|$。对于一个近似基态$|\psi\rangle$，H在该状态下的期望值为$\langle\psi| H |\psi\rangle = \sum_{i} E_i |\langle\psi, \psi_i\rangle|^2$。由于所有权重$|\langle\psi, \psi_i\rangle|^2 \geq 0$，且$E_0$是最小本征值，所以$\langle\psi| H |\psi\rangle \geq E_0$。
PQC的作用是产生候选状态$|\psi\rangle$，算法的变分部分包括迭代改进候选状态（迭代更新可调参数），这可以作为混合量子 - 经典协议的经典部分。量子部分则是运行PQC并在构建的量子态上测量H，以获得H的期望值。
3. 量子计算机上的期望值计算
VQE算法的关键是期望值的计算，下面分别介绍单量子比特、双量子比特和多量子比特情况下的计算方法。
3.1 单量子比特情况
任何单量子比特哈密顿量都可以表示为$H = aX + bY + cZ + dI$，其中$a, b, c, d$是实数系数。对于给定状态$|\psi\rangle$，哈密顿量的期望值为$\langle H\rangle = \langle\psi| H |\psi\rangle = a \langle\psi| X |\psi\rangle + b \langle\psi| Y |\psi\rangle + c \langle\psi| Z |\psi\rangle + d \langle\psi| I |\psi\rangle$。
- 单位矩阵项 ：$\langle\psi| I |\psi\rangle = \langle\psi|\psi\rangle = 1$，该项对$\langle H\rangle$的贡献为$d$。
- Z项 ：在计算基（z基）下，$|\psi\rangle = \alpha_z |0\rangle + \beta_z |1\rangle$，$\langle\psi| Z |\psi\rangle = |\alpha_z|^2 - |\beta_z|^2$。通过运行量子电路构建状态$|\psi\rangle$并进行N次测量，找到处于$|0\rangle$和$|1\rangle$状态的概率分别为$n_0/N$和$n_1/N$，则Z项对$\langle H\rangle$的贡献为$c \frac{n_0 - n_1}{N}$。
- X和Y项 ：如果只能在z基下进行测量，需要应用额外的门（如Hadamard门H和G门）将状态转换，使得在z基下测量$|0\rangle$的概率与在x基下测量$|+\rangle$或在y基下测量$|R\rangle$的概率相同。
3.2 双量子比特情况
考虑包含Pauli矩阵张量积的哈密顿量，如$X \otimes Y$。以$X \otimes Y$项为例，其本征向量可以通过X和Y的本征向量的张量积得到。将双量子比特系统的量子态$|\psi\rangle$表示为$X \otimes Y$本征向量的基：$|\psi\rangle = \alpha_x\alpha_y |+R\rangle + \alpha_x\beta_y |+L\rangle + \beta_x\alpha_y |-R\rangle + \beta_x\beta_y |-L\rangle$。
通过应用$H \otimes G$门，可以将状态转换到z基下进行测量，使得相应状态的概率振幅保持不变。通过计数测量结果$|ij\rangle$的数量$n_{ij}$，$X \otimes Y$的期望值为$\langle X \otimes Y\rangle = \frac{n_{00} - n_{01} - n_{10} + n_{11}}{N}$。
3.3 多量子比特情况
任何哈密顿量都可以写成$H = \sum_{i\alpha} h_i^{\alpha} \sigma_i^{\alpha} + \sum_{ij\alpha\beta} h_{ij}^{\alpha\beta} \sigma_i^{\alpha} \sigma_j^{\beta} + \cdots$的形式。由于量子可观测量的线性性质，哈密顿量的期望值可以表示为各个项期望值的总和。只要哈密顿量可以写成关于系统大小的多项式项，量子计算机就可以有效地计算其期望值。
4. 构建参数化量子电路（PQC）
构建高质量的候选状态对于计算期望值至关重要，下面分别介绍单量子比特和多量子比特系统的PQC构建方法。
4.1 单量子比特PQC
在单量子比特系统中，通过围绕两个正交轴旋转可以到达Bloch球上的任何点。如果哈密顿量中只有Z和I项，一个简单的PQC由$RY(\theta_1)$和$RZ(\theta_2)$门组成。如果要计算X项的期望值，需要添加Hadamard门H；计算Y项的期望值，则需要添加G门。
以下是相应的PQC示意图：
graph LR
classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
A([|0⟩]):::startend --> B(RY(θ1)):::process
B --> C(RZ(θ2)):::process
C --> D([|ψf⟩]):::startend
4.2 多量子比特PQC
假设优化问题编码在双量子比特哈密顿量$H = aX \otimes Y + bY \otimes Z + cZ \otimes X$中，为了计算该哈密顿量的期望值，需要构建一个具有足够灵活可调门的量子电路。
以下是构建候选状态的PQC示意图：
graph LR
classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
A([|0⟩]):::startend --> B(RY(θ1)):::process
B --> C(RZ(θ2)):::process
C --> D([|ψ1⟩]):::startend
E([|0⟩]):::startend --> F(RY(θ3)):::process
F --> G(RZ(θ4)):::process
G --> H([|ψ2⟩]):::startend
5. 运行PQC进行数值实验
为了更好地理解算法的机制，我们对编码在双量子比特哈密顿量$H = aX \otimes Y + bY \otimes Z + cZ \otimes X$中的优化问题进行数值实验。
5.1 实验设置
根据变分方法和PQC架构，我们需要构建由四个可调参数$\theta_1, \theta_2, \theta_3, \theta_4$控制的候选状态。由于PQC只有两层深和两个量子寄存器宽，我们可以使用暴力方法。
将旋转角度的可能值范围离散化，$\theta_1$和$\theta_3$在$[0, \pi]$区间，$\theta_2$和$\theta_4$在$[0, 2\pi]$区间，增量为$\pi/m$。以$m = 8$为例，进行第一次搜索，找到使$\langle H\rangle$最小的状态$|\psi^ \rangle$及其对应的旋转角度$\theta_1^ , \cdots, \theta_4^ $。然后在$|\psi^ \rangle$的邻域进行更精细的搜索，得到新的状态$|\psi’\rangle$和旋转角度$\theta_1’, \cdots, \theta_4’$。
5.2 实验结果
| 搜索阶段 | $\theta_1$ | $\theta_2$ | $\theta_3$ | $\theta_4$ | $\langle H\rangle_{min}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 第一次搜索 | 1.7671 | 3.0434 | 1.7671 | 1.4726 | -3.93 |
| 第二次搜索 | 1.5708 | 3.1416 | 1.5708 | 1.5708 | -4.00 |
最优的旋转角度配置为$\theta_1’ = \theta_3’ = \theta_4’ = \frac{\pi}{2}$，$\theta_2’ = \pi$，对应的量子态为$|\psi_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} |0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} |1\rangle$，$|\psi_2\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} |0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} |1\rangle$，$|\psi\rangle = |\psi_1\rangle \otimes |\psi_2\rangle = \frac{1}{2} |00\rangle + \frac{i}{2} |01\rangle - \frac{1}{2} |10\rangle - \frac{i}{2} |11\rangle$。
5.3 结果分析
通过直接手动计算验证结果的合理性。对于$\langle X \otimes Y\rangle$，$X$作用于$|\psi_1\rangle$，$Y$作用于$|\psi_2\rangle$，在计算基下测量得到$|10\rangle$的概率为1，$\langle X \otimes Y\rangle = -1$，该项对哈密顿量期望值的贡献为$-4$。$\langle Y \otimes Z\rangle$和$\langle Z \otimes X\rangle$的期望值均为0，总贡献为$-4$，与数值实验结果一致。
6. 离散投资组合优化中的VQE应用
在金融领域，离散投资组合优化是一个NP难问题。我们可以使用VQE算法解决此类问题。
6.1 问题描述
离散投资组合优化问题的QUBO形式为$L(q) = \sum_{i=1}^{N} a_i q_i + \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=i+1}^{N} b_{ij} q_i q_j$，其中$q = (q_1, \cdots, q_N)$是二进制决策变量，表示是否选择资产。
考虑最简单的情况，投资组合由两个资产组成，QUBO成本函数为$L(q) = a_1 q_1 + a_2 q_2 + b_{12} q_1 q_2$，转换为Ising模型形式为$L(s) = g_1 s_1 + g_2 s_2 + J_{12} s_1 s_2 + const$，其中$g_1 = \frac{1}{2} a_1 + \frac{1}{4} b_{12}$，$g_2 = \frac{1}{2} a_2 + \frac{1}{4} b_{12}$，$J_{12} = \frac{1}{4} b_{12}$。
6.2 经典方法求解
使用经典的穷举搜索方法，对所有可能的解进行计算，得到最优解$q^* = (1, 0)$，即选择资产1，不选择资产2。
| $q_1$ | $q_2$ | $L(q)$ |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 3 |
| 1 | 0 | -2 |
| 1 | 1 | -1 |
6.3 VQE方法求解
将Ising成本函数转换为量子门形式的哈密顿量$H_F = g_1 Z_1 + g_2 Z_2 + J_{12} Z_1 \otimes Z_2$。计算$Z$和$Z \otimes Z$的期望值，得到不同状态下$H_F$的期望值：
- $|00\rangle$：$\langle H\rangle = g_1 \cdot (+1) + g_2 \cdot (+1) + J_{12} \cdot (+1) = -1$
- $|01\rangle$：$\langle H\rangle = g_1 \cdot (+1) + g_2 \cdot (-1) + J_{12} \cdot (-1) = -2$
- $|10\rangle$：$\langle H\rangle = g_1 \cdot (-1) + g_2 \cdot (+1) + J_{12} \cdot (-1) = 3$
- $|11\rangle$：$\langle H\rangle = g_1 \cdot (-1) + g_2 \cdot (-1) + J_{12} \cdot (+1) = 0$
最优解为$|01\rangle$，即选择资产1，不选择资产2，与经典方法的结果一致。
综上所述，VQE算法是一种强大的工具，它结合了量子计算和经典优化方法，能够有效地解决复杂的优化问题。通过在量子计算机上计算期望值和构建PQC，我们可以找到问题哈密顿量的基态，从而得到优化问题的最优解。在金融领域的离散投资组合优化问题中，VQE算法展示了其在实际应用中的潜力。未来，随着量子技术的不断发展，VQE算法有望在更多领域发挥重要作用。
变分量子本征求解器（VQE）：原理、计算与应用
7. VQE算法优势与挑战
VQE算法作为一种强大的量子机器学习模型，具有显著的优势，但也面临一些挑战。
7.1 优势
- 解决复杂问题 ：VQE算法能够解决许多NP难的组合优化问题，这些问题在传统计算中往往难以高效求解。通过将问题编码在哈密顿量中，VQE可以找到其基态，从而得到问题的最优解。
- 混合量子 - 经典架构 ：VQE是一种混合量子 - 经典算法，其变分部分可以在经典计算机上进行，而量子部分则利用量子计算机的特性进行期望值的计算。这种架构充分发挥了量子计算机和经典计算机的优势，降低了对量子硬件的要求。
- 灵活性 ：PQC的可调参数可以根据具体问题进行调整，使得VQE算法具有很强的灵活性。可以通过改变PQC的架构和参数，来适应不同的优化问题。
7.2 挑战
- 噪声影响 ：当前的量子计算机存在噪声和误差，这会影响期望值的计算结果。噪声可能导致找到的基态并非真正的最优解，从而影响算法的准确性。
- 参数优化困难 ：PQC的可调参数数量可能非常大，如何高效地优化这些参数是一个挑战。传统的优化算法在高维参数空间中可能会陷入局部最优解，需要开发更有效的优化策略。
- 问题编码复杂性 ：将实际问题编码在哈密顿量中可能是一个复杂的过程，需要对问题有深入的理解和专业知识。不同的问题可能需要不同的编码方式，这增加了算法应用的难度。
8. 未来发展方向
尽管VQE算法面临一些挑战，但随着量子技术的不断发展，它具有广阔的发展前景。以下是一些可能的未来发展方向：
8.1 硬件改进
- 降低噪声 ：研究人员正在努力开发更先进的量子硬件，以降低噪声和误差。通过改进量子比特的设计和控制技术，可以提高量子计算机的稳定性和准确性，从而减少噪声对VQE算法的影响。
- 增加量子比特数量 ：随着量子比特数量的增加，量子计算机的计算能力将得到显著提升。这将使得VQE算法能够处理更复杂的优化问题，扩大其应用范围。
8.2 算法优化
- 高效优化算法 ：开发更高效的参数优化算法，能够在高维参数空间中快速找到全局最优解。例如，利用机器学习和人工智能技术，设计自适应的优化策略，提高算法的收敛速度和准确性。
- 改进问题编码 ：研究更有效的问题编码方法，将实际问题更简洁、准确地编码在哈密顿量中。这将减少编码的复杂性，提高算法的效率和可扩展性。
8.3 跨领域应用
- 金融领域拓展 ：除了离散投资组合优化问题，VQE算法还可以应用于其他金融领域的问题，如风险管理、期权定价等。通过将金融问题转化为量子优化问题，利用VQE算法求解，有望为金融行业带来新的解决方案。
- 其他领域应用 ：VQE算法在化学、物理、生物等领域也具有潜在的应用价值。例如，在化学领域，可以用于分子结构优化和化学反应模拟；在物理领域，可以用于量子多体问题的研究。
9. 总结与展望
VQE算法作为一种基于变分方法的量子机器学习模型，为解决复杂的优化问题提供了一种有效的途径。通过在量子计算机上计算期望值和构建PQC，我们可以找到问题哈密顿量的基态，从而得到优化问题的最优解。
在本文中，我们详细介绍了VQE算法的原理、量子计算机上的期望值计算方法、PQC的构建，以及通过数值实验和实际应用展示了其有效性。在离散投资组合优化问题中，VQE算法得到的结果与经典方法一致，证明了其在金融领域的可行性。
然而，VQE算法也面临一些挑战，如噪声影响、参数优化困难和问题编码复杂性等。未来，随着量子硬件的改进、算法的优化和跨领域应用的拓展，VQE算法有望在更多领域发挥重要作用，为解决复杂问题提供更强大的工具。
以下是VQE算法的整体流程示意图：
graph TD
classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
A([问题定义]):::startend --> B(问题编码为哈密顿量):::process
B --> C(构建PQC):::process
C --> D(初始化可调参数):::process
D --> E(运行PQC生成候选状态):::process
E --> F(量子计算机计算期望值):::process
F --> G(经典计算机更新参数):::process
G --> H{是否满足终止条件}:::process
H -- 否 --> D
H -- 是 --> I([输出最优解]):::startend
总之，VQE算法是量子计算领域的一个重要研究方向，它的发展将为科学研究和工程应用带来新的机遇和挑战。我们期待着在未来看到更多关于VQE算法的研究成果和实际应用。
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