dp Regular QBXT Test Ⅸ T1

题意：给出一个只包含左括号和右括号的字符串，插入若干左右括号（可以插在任意位置）之后使得字符串长度为$2n$且是一个合法的括号序列。求最后能组成多少种不同的合法括号序列。【合法的括号序列：该序列任意一个前缀的左括号数大于等于右括号数,最终左括号数等于右括号数】。$n<=100$

三维$dp$，$dp$的前两维分别为插入的括号数量和使用的原来的序列中的括号数量，而第三维是用来判断合法性的，所以第三维设为左括号比右括号多的数量。状态设计出来后，转移就比较好想了，设$m$为读入的括号序列的长度。首先枚举插入的括号数量，原来的括号序列和左括号比右括号多的数量。首先如果目前枚举到的括号为左括号，并且使用的原括号的数量$<m$，就可以将该括号放入最终序列中，即为：$$dp[i][j+1][k+1]+=dp[i][j][k]$$

如果此时枚举到的是一个右括号，并且$k>0$，即左括号的数量大于右括号的数量，并且使用的原括号的数量$<m$，就将该右括号放入最终序列，即为：$$dp[i][j+1][k-1]+=dp[i][j][k]$$

如果使用的括号数量$=m$，或当前枚举到的是一个右括号，可以插入一个左括号。即为：$$dp[i+1][j][k+1]+=dp[i][j][k]$$

当$k>0$时，如果使用的括号数量$=m$，或当前枚举到的是一个左括号，可以插入一个右括号。即为：$$dp[i+1][j][k-1]+=dp[i][j][k]$$

答案就是$dp[2\ast n-m][m][0]$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[220][220][220],n;
const int mod=1e9+7;
//dp[i][j][k]表示已经插入i个字符，使用原串j个字符且左括号比右括号多k个的方案数
char s[10000];
int main()
{
	freopen("regular.in","r",stdin);
	freopen("regular.out","w",stdout);	
	cin>>n;
	scanf("%s",s);
	int m=strlen(s);
	dp[0][0][0]=1;
	for(int i=0;i<=2*n-m;++i)
		for(int j=0;j<=m;++j)
			for(int k=0;k<=n;++k)
			{
				if(s[j]=='('&&j<m)
					dp[i][j+1][k+1]=(dp[i][j+1][k+1]%mod+dp[i][j][k]%mod)%mod;
				else 
					dp[i+1][j][k+1]=(dp[i+1][j][k+1]%mod+dp[i][j][k]%mod)%mod;
				if(k>0)
				{
					if(s[j]==')'&&j<m)
						dp[i][j+1][k-1]=(dp[i][j+1][k-1]%mod+dp[i][j][k]%mod)%mod;
					else
						dp[i+1][j][k-1]=(dp[i+1][j][k-1]%mod+dp[i][j][k]%mod)%mod;				
				}		
			}
	cout<<dp[2*n-m][m][0];
	return 0;
}