leetcode 887. 鸡蛋掉落

• 参考网址1 github - 鸡蛋掉落讨论
• 参考网址2 双蛋问题 - 李永乐

思路

dp[k][m]表示k个鸡蛋，m次移动可以测出的最大层数
状态转移公式：

dp[k][m] = dp[k-1][m-1] + dp[k][m-1] + 1

解释：
Step1: 考虑在哪一层丢第一个鸡蛋（dp[k-1][m-1]+1层 ）
// 为什么要选择在dp[k-1][m-1]+1层丢鸡蛋？
反证法：

• 更低楼层丢鸡蛋。最终得到的并不是“最大”楼层数，未充分挖掘鸡蛋数和移动次数的潜力，最终求解时会剩余一定量的鸡蛋或移动次数。
• 更高楼层丢鸡蛋。不妨假设高了一层，即在第dp[k-1][m-1]+2层丢鸡蛋。若蛋碎，则可排除该层以上的所有楼层；若蛋未碎，因为剩下的k-1个鸡蛋在m-1次移动只能求出dp[k-1][m-1]的楼层，而现在剩余的楼层却是dp[k-1][m-1]+1，得出矛盾！

Step2: 对于第一个鸡蛋状态的讨论：
- 蛋碎：可用k-1个鸡蛋用m-1步测出下面的dp[k-1][m-1]层楼，此时，总共可以测出无限∞的楼层。（如果蛋碎，那么无论上面还有多少层，都是这个结果，所以可以测出无限层 ）
- 蛋未碎：说明所求楼层数不在下面的dp[k-1][m-1]层楼中；此时，还剩k个鸡蛋和m-1次移动，可用dp[k-1][m-1]+1以上的楼层继续测试；总共可以测出dp[k-1][m-1]+dp[k][m-1]+1层楼。

step3: 得出最多可测的楼层数：
dp[k][m] = max(dp[k-1][m-1]+dp[k][m-1]+1, ∞)，即，
dp[k][m] = dp[k-1][m-1]+dp[k][m-1]+1

代码实现：

class Solution:
    def superEggDrop(self, K: int, N: int) -> int:
        dp = [[0 for i in range(N+1)] for i in range(K+1)]
        # 注意：dp = [[0] * (N+1)] * (K+1) # Wrong!!!
        
        for m in range(1, N+1):
            for k in range(1,K+1):
                dp[k][m] = dp[k-1][m-1] + dp[k][m-1] + 1
                if dp[k][m] >= N:
                    return m

        return N

代码优化：

# 参考背包问题
class Solution:
    def superEggDrop(self, K: int, N: int) -> int:
        dp = [0] * (K+1)
        m = 0
        while 1:
            m += 1
            for k in range(K, 0, -1):
                dp[k] = dp[k-1] + dp[k] + 1
                if dp[k] >= N:
                    return m
        
        return N