WEEK10 周记 作业——动态规划_LIS & LCS问题

WEEK10 周记 作业——动态规划_LIS & LCS问题

一、题意

1.简述

东东有两个序列A和B。

他想要知道序列A的LIS和序列AB的LCS的长度。

注意，LIS为严格递增的，即a1<a2<…<ak(ai<=1,000,000,000)。

2.输入格式

第一行两个数n，m（1<=n<=5,000,1<=m<=5,000）
第二行n个数，表示序列A
第三行m个数，表示序列B

3.输出格式

输出一行数据ans1和ans2，分别代表序列A的LIS和序列AB的LCS的长度

4.样例

Input

5 5
1 3 2 5 4
2 4 3 1 5

Output

3 2

二、算法

主要思路

LIS 最长上升子序列

给定 n 个整数 $A_i,A_2,\dots ,A_n$，按从左到右的顺序选出尽量多的整数，组成一个上升子序列。输出最长上升子序列的长度。
例如，序列 1,6,2,3,7,5上升子序列可以是1,6,7,；也可以是 1,2,3,5。而 最长上升子序列为 1,2,3,5，其长度为 4，故 ans = 4
求解其长度的状态转移方程为：
$$f_1=1$$fi=max{fj∣j<i⋀Aj<Ai}+1,i≥2fi=max\{f_j|j<i \bigwedge A_j<A_i\}+1,i\ge2fi=max{fj​∣j<i⋀Aj​<Ai​}+1,i≥2
那么最终的LIS的长度为$$maxf[i],i=1\dots n$$
算法时间复杂度为$O(n^2)$

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LCS 最长公共子序列

给两个序列 A 和 B，求长度最大的公共子序列的长度
例如：
A – 1,5,2,6,8,7
B – 2,3,5,6,9,8,4
最长公共子序列为：
A – 1,5,2,6,8,7
B – 2,3,5,6,9,8,4
或
A – 1,5,2,6,8,7
B – 2,3,5,6,9,8,4
设$f[i][j]$为$A_1,A_2,\dots ,A_i$ 和 $B_1,B_2,\dots ,B_j$ 的 LCS 长度
状态转移方程$$f[1][0]=f[0][1]=f[0][0]=0$$$$f[i][j]=f[i-1][j-1]+1,Ai=Bj$$$$f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]),A_i\ne B_j$$
输出答案：$f[n][m]$
时间复杂度：$O(nm)$

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三、代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
using namespace std;
int a[5010];  //从1开始 
int b[5010];  //从1开始
int n,m;
int ans1,ans2;
int lth1[5010]; //从1开始
int f[5010][5010];  //从1，1开始
int main(){
	f[0][0] = 0; 
	f[0][1] = 0;
	f[1][0] = 0;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&b[i]);
	
	//求ans1
	for(int i=1;i<=n;i++){
		lth1[i] = 1;
		for(int j=1;j<i;j++){
			if(a[j]<a[i]&&lth1[i]<lth1[j]+1) lth1[i] = lth1[j]+1;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(lth1[i]>ans1) ans1 = lth1[i];
	
	//求ans2
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			if(a[i]==b[j]) f[i][j] = f[i-1][j-1]+1;
			else{
				f[i][j] = f[i-1][j]>f[i][j-1]?f[i-1][j]:f[i][j-1];
			}
		}
	}
	ans2 = f[n][m];
	printf("%d %d",ans1,ans2);
	return 0;
}