程序员基本功11树和二叉树

最新推荐文章于 2024-05-07 07:59:02 发布

吴春旭呀

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分类专栏： JAVA 突破程序员基本功

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本文深入探讨树和二叉树的基本概念、操作与存储方式，解析红黑树、哈夫曼树等高级数据结构，以及它们在信息检索与编码中的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

你只管努力，其他的交给天意

1、树的概念和基本术语

树是一种非线性的数据结构，如果一组数组节点之间存在复杂的一对多关联时，程序可以考虑使用树来存储这组数据。Treemap本身就是一颗红黑树，红黑树又是一种特殊的排序二叉树。

树：指的是N个有父子关系的节点的有限集合

对于这个集合，它满足如下条件：

当N=0时，该节点集合为空，这棵树也被称为空树；
在任意的非空树中，有且仅有一个根节点；
当N>1时，除根节点外的其余节点可分为M个互为相交的有限集合T1、T2.。其中的每个集合本身又是一棵树，并称其为根的子树。

节点：树的最基本组成单元，常包括一个数据元素及若干指针用于指向其他节点
节点的度：节点拥有的子树的个数被称为节点的度
树的度：树中所有节点的度的最大值
叶子节点：度为0的节点被称为叶子节点或终端节点
分支节点:度不为0的节点
子节点、父节点和兄弟节点：节点的子树的根被称为子节点，该节点为父节点。具有相同父节点的子节点互称为兄弟节点
节点的层次：节点的层次从根开始算起，跟的层次为1，其余节点的层次值为父节点的穿层次值加1。
树的深度：树中节点的最大层次值称为树的深度
有序树与无序树：如果树中节点的各个子树看成从左到右是有序的，则概述为有序树，否则为无序树
祖先节点：从根到该节点所经过分支上的所有节点
后代节点：以某节点为根的子树中任一节点
深林：森林是2颗或2颗以上互不相交的树的集合

2、树的基本操作

初始化：通常是一个构造器，用于创建一个空的树，或者以指定节点为根创建树
为指定节点添加子节点
判断树是否为空
返回根节点
返回指定节点（非根节点）的所有子节点
返回指定节点的（非叶子节点）的所有子节点
返回指定节点（非叶子节点）的第i个子节点
返回该树的深度
返回指定节点的位置

3、树的父节点存储实现

为了实现这种数据结构，程序必须记录节点与非节点的父子关系，有俩种选择：父节点表示法、子节点表示法

定义树节点时增加一个Parent域，该域用于保存该节点的父节点在数组中的位置索引，通过这种方式记录书中节点之间的父子关系，添加新节点时将新节点的parent域的值设为其父节点在数组中的索引。

每个节点都可以快速找到它的父节点，但如果要找某个节点的所有子节点就比较麻烦，程序要遍历整个节点数组。

4、树的子节点链表示法

让父节点记住它的所有子节点

5、二叉树的定义和基本概念

二叉树指的是每个节点最多只能有俩个子树的有序树，左边的子树称为左子树，右边的子树称为右子树

树个二叉树的俩个重要区别：

树中节点的最大度数没有限制，二叉树节点的最大度数为2
无序树的节点无左右之分，而二叉树的节点有左右之分，也就是说，二叉树是有序树
二叉树的性质：
二叉树第i层的节点数目至多为 $2^{i-1}\left ( i> = 1 \right )$
深度为k的二叉树至多有 $2^{k}-1$ 个节点
任何二叉树中，如果其叶子节点的数量为n0，度为2的子节点数量为n2，则n0=n2+1。
具有n个节点的完全二叉树的深度为 $\log _{2}n+1$
对一颗有n个节点的完全二叉树的节点按层自左向右编号，则对任一编号为i的节点有：

当i=1时，节点i是二叉树的根；若i>1,则节点的父节点是i/。

若 $2i\leq n$ ,则节点i有左孩子，左孩子的编号是2i，否则，节点无左孩子，并且是叶子节点。

若 $2i+1\leq n$ ，则节点i有右孩子，有孩子的编号是 $2i+1$ ；否则节点无右孩子。

对一颗有n个节点的完全二叉树的节点按层自左向右编号，1~n/2范围的节点都是有孩子节点的非叶子节点，其余的都是叶子节点。编号为n/2的节点可能只有左子节点，也可能左右子节点都有。

6、二叉树的基本操作

初始化：通常是一个构造器，用于创建一个空的树，或者以指定节点为根创建二叉树
为指定节点添加子节点
判断二叉树是否为空
返回根节点
返回根节点的父节点
返回指定节点的左子节点
返回指定节点的右子节点
返回该二叉树的深度
返回指定节点的位置

实现二叉树这种数据结构，右三种选择：

顺序存储：采用数组来记录二叉树的所有节点
二叉链表存储：每个节点保留一个left、right域，分别指向其左右子节点
三叉链表存储：每个节点保留left、right和parent域，分别指向左、右子节点和父节点。

7、二叉树的顺序存储的实现

二叉树每层的节点数最多为 $2^{i-1}$ ，这个二叉树最多能包含节点为 $2^{i}-1$ ，因此只要定义一个 $2^{i}-1$ 的数组即可储存这棵树。二叉树采用顺序存储可能会造成一定的空间浪费。

8、二叉树和二叉链表存储的实现

对于二叉链表的二叉树，因为程序采用链表来记录树中所有节点，所以添加节点没有限制，也不会像顺序存储那样产生大量的空间浪费。这种二叉链表的存储方式在遍历树节点时效率不高，指定节点访问父类节点也比较困难，程序必须采用遍历二叉树的方式搜索其父节点。

为了克服二叉链表存储方式中访问父类节点不方便的问题，可以将二叉链表扩展成三叉链表。三叉链表存储方式是二叉链表的一种改进，通过为树节点增加一个parent引用，可以让每个节点都能方便的访问父节点。

遍历二叉树指的是按照某种规律依次访问二叉树的每个节点，对二叉树的遍历过程就是将非线性结构的二叉树中的节点排列在一个线性序列上升的过程。如果采用顺序结构保存二叉树，程序遍历二叉树将非常容易，直接遍历底层数组即可，如果采用链表保存二叉树的节点，则有俩中遍历方式：

深度优先遍历：这种遍历将先访问到树中最深层析的节点。它右可分为3中（前序、中序、后序）

广度优先遍历：逐层访问每层的节点，先访问根节点，然后访问第二层节点，广度遍历法又被称为按层遍历