牛客题解 | 矩阵的最小路径和

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解题思路

这是一个典型的动态规划问题：

1. $dp[i][j]$ 表示到达位置 $(i,j)$ 的最小路径和
2. 每个位置只能从上方或左方到达
3. 状态转移方程：$dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+matrix[i][j]$
4. 需要特别处理第一行和第一列，因为它们只能从一个方向到达

---

代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector<vector<int>> matrix(n, vector<int>(m));
    vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(m));
    
    // 读取矩阵
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        for(int j = 0; j < m; j++) {
            cin >> matrix[i][j];
        }
    }
    
    // 初始化dp数组
    dp[0][0] = matrix[0][0];
    // 处理第一行
    for(int j = 1; j < m; j++) {
        dp[0][j] = dp[0][j-1] + matrix[0][j];
    }
    // 处理第一列
    for(int i = 1; i < n; i++) {
        dp[i][0] = dp[i-1][0] + matrix[i][0];
    }
    
    // 动态规划过程
    for(int i = 1; i < n; i++) {
        for(int j = 1; j < m; j++) {
            dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + matrix[i][j];
        }
    }
    
    cout << dp[n-1][m-1] << endl;
    return 0;
}

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int m = sc.nextInt();
        int[][] matrix = new int[n][m];
        int[][] dp = new int[n][m];
        
        // 读取矩阵
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            for(int j = 0; j < m; j++) {
                matrix[i][j] = sc.nextInt();
            }
        }
        
        // 初始化dp数组
        dp[0][0] = matrix[0][0];
        // 处理第一行
        for(int j = 1; j < m; j++) {
            dp[0][j] = dp[0][j-1] + matrix[0][j];
        }
        // 处理第一列
        for(int i = 1; i < n; i++) {
            dp[i][0] = dp[i-1][0] + matrix[i][0];
        }
        
        // 动态规划过程
        for(int i = 1; i < n; i++) {
            for(int j = 1; j < m; j++) {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + matrix[i][j];
            }
        }
        
        System.out.println(dp[n-1][m-1]);
        sc.close();
    }
}

n, m = map(int, input().split())
matrix = []
for _ in range(n):
    matrix.append(list(map(int, input().split())))

dp = [[0] * m for _ in range(n)]
dp[0][0] = matrix[0][0]

# 处理第一行
for j in range(1, m):
    dp[0][j] = dp[0][j-1] + matrix[0][j]

# 处理第一列
for i in range(1, n):
    dp[i][0] = dp[i-1][0] + matrix[i][0]

# 动态规划过程
for i in range(1, n):
    for j in range(1, m):
        dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + matrix[i][j]

print(dp[n-1][m-1])

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算法及复杂度

• 算法：动态规划
• 时间复杂度：$\mathcal{O}(nm)$
• 空间复杂度：$\mathcal{O}(nm)$

关键点说明：

1. 使用二维 $dp$ 数组记录到达每个位置的最小路径和
2. 需要特别处理第一行和第一列的初始化
3. 对于其他位置，取上方和左方的最小值加上当前位置的值
4. 最终 $dp$ 数组的右下角即为所求的最小路径和

注意：这里使用了 $\mathcal{O}(nm)$ 的空间复杂度，如果需要优化空间复杂度，可以使用滚动数组将空间复杂度降至 $\mathcal{O}(m)$。

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解题思路

一、问题分析

1. 题目要求

   • 从数组中选择数字
   • 任意两数差值不超过 $k$
   • 求最多可选数字个数

2. 关键点

   • 差值限制意味着选择的数字要在一个范围内
   • 排序后可以简化问题

3. 基本思路

   1. 先对数组排序
   2. 使用滑动窗口
   3. 窗口内的数字差值都不超过 $k$
   4. 维护最大窗口大小

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代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main() {
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    
    vector<int> nums(n);
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> nums[i];
    }
    
    // 排序
    sort(nums.begin(), nums.end());
    
    // 滑动窗口
    int maxCount = 1;
    int left = 0;
    
    for(int right = 1; right < n; right++) {
        // 如果当前窗口的最大差值超过k，移动左指针
        while(left < right && nums[right] - nums[left] > k) {
            left++;
        }
        maxCount = max(maxCount, right - left + 1);
    }
    
    cout << maxCount << endl;
    return 0;
}

import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int k = sc.nextInt();
        
        int[] nums = new int[n];
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            nums[i] = sc.nextInt();
        }
        
        // 排序
        Arrays.sort(nums);
        
        // 滑动窗口
        int maxCount = 1;
        int left = 0;
        
        for(int right = 1; right < n; right++) {
            // 如果当前窗口的最大差值超过k，移动左指针
            while(left < right && nums[right] - nums[left] > k) {
                left++;
            }
            maxCount = Math.max(maxCount, right - left + 1);
        }
        
        System.out.println(maxCount);
    }
}

n, k = map(int, input().split())
nums = list(map(int, input().split()))

# 排序
nums.sort()

# 滑动窗口
max_count = 1
left = 0

for right in range(1, n):
    # 如果当前窗口的最大差值超过k，移动左指针
    while left < right and nums[right] - nums[left] > k:
        left += 1
    max_count = max(max_count, right - left + 1)

print(max_count)

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算法及复杂度分析

算法：滑动窗口，双指针
时间复杂度

• 排序：$\mathcal{O}(n\log n)$
• 滑动窗口：$\mathcal{O}(n)$
• 总体：$\mathcal{O}(n\log n)$

空间复杂度

• $\mathcal{O}(n)$，输入的数组。

关键点说明

1. 排序的必要性

   • 排序后可以保证窗口内的数字连续
   • 只需要比较窗口两端的差值

2. 滑动窗口维护

   • 右指针不断向右移动
   • 左指针在差值超过 $k$ 时移动
   • 记录最大窗口大小

3. 边界条件处理

   • 数组长度为 $1$ 的情况
   • 所有数字都可以选择的情况