简单的博弈问题

前言

  最近在准备机考题，之前也做过一些与博弈有关的题目，所以在这里总结几类常见的博弈问题.

巴什博弈

  假设有n个石子，有两个玩家first(先取)和second(后取)，玩家每次可以交替取1-m个石子，取到最后一个石子的玩家获胜。现在给定m，n，问那个玩家可以胜利。
  判定的条件为n%(m+1)==0,分析如下：

• n%(m+1)==0 second赢
  假设玩家first先取k个石子，那么玩家second可以取m+1-k个石子，这样，每回合都会取走m+1个石子，这样，最后一个石子一定是second取走。
• n%(m+1)!=0 first赢
  思路与前一种情况类似，玩家first先取走n%(m+1)个石子，这样的话，形势与情况一一致$n^{\prime }\%(m+1)==0$，只不过这个时候first每回合取$m+1-k_{second}$个石子即可取得胜利。

威佐夫博弈

  有两堆石子，两个人交替取石子，可以从一堆中取，也可以从两堆中取走相同数目的石子，每次取走石子的数量至少为1，最后取走者获胜，问谁能取得胜利。
  我们可以定义先手输的局势为奇异局势，比如(0,0)，这种情况下，取走最后一个石子的必定是后手。前几种奇异局势是(0,0),(1,2),(3,5),(4,7),(6,10),(8,13),(9,15)…,用数对表示的话，$(a_k,b_k)$,$a_0=0,b_0=0,b_k=a_k+k$，$a_k$是前面未出现的最小自然数。奇异局势的性质可以参考百度百科。
  结论: 给定(a,b)，满足$(b-a)\ast \frac{\sqrt{5}+1}{2}=x$，则为奇异局势。

尼姆博弈

  有三堆石子，两个人轮流从任一堆石子中取出任意多(至少为1)的石子，最后取光者胜。
  结论：若每堆石子的数量的异或和为0，则处于平衡状态，面对平衡状态的选手将会输。