算法专辑之素数相关问题

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本文深入探讨素数的基本概念，提供高效的素数判断算法，包括优化的试除法及筛选法，并通过实例讲解素数对与质数因子的求解方法。

素数

1.基础知识

100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个；
20以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19；共8个；

在这里插入图片描述
按照如上定义，不难写出如下代码来判断一个数是否为素数。

bool isPrime(long long n){
    if(n<=3) return n>1; // 2和3均视作质数，1不为质数
    else if(n % 2 == 0 || n % 3 == 0) return false; // 存在因子2或3，则不为质数
    else{
    	// 依次判断，直到sqrt(n)
        for(int i=4;i*i<=n;i++){
            if(n%i==0){
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

另外，所有大于3的素数都可以表示为6N-1或者6N+1（被称为孪生素数）。因此，可通过判断是否能被大于3的质因子整除进行优化，如下：

bool isPrime(unsigned long long n) {
    if (n <= 3) {
        return n > 1;
    } else if (n % 2 == 0 || n % 3 == 0) {
        return false;
    } else {
    	// 优化，判断是否能被大于3的质因子整除
        for (unsigned short i = 5; i * i <= n; i += 6) {
            if (n % i == 0 || n % (i + 2) == 0) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

2.例题

2.1 素数对

在这里插入图片描述

筛选法求素数。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main(){
	//筛选法求素数（删除所有素数的倍数）
	vector<int> v(1000,1);
	for(int i=2;i<1000;++i){
		for(int j=2;i*j<1000;++j){
			if(v[i]){
				v[i*j]=0;
			}
		}
	}
	int x;
	cin>>x;
	int res=0;
	for(int i=2;i<=x/2;++i){
		if(v[i]&&v[x-i]) ++res;
	}
	cout<<res<<endl;	
}

2.2 质数因子

来源：华为笔试题

在这里插入图片描述

解题思路： 首先确定正整数的范围，明确几点特判（数很小的时候），否则依次求其质因子。

x<=3，返回x>1
分解因子2和因子3
分解大于3的因子
如果结果中无因子，则为质数；返回{x}本身
如果最后结果为1，则

以下为AC代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

vector<long> getPrime(long x)
{
    if(x<=3) return {x};
    vector<long> res;
    //假设x为合数，则按以下顺序分解
    // 获得2、3的质因子
    while(x%2==0){
        x=x/2;
        res.push_back(2);
    }
    while(x%3==0){
        x = x/3;
        res.push_back(3);
    }
    if(x>=5){
        // 大于3的质数均为6N-1或者6N+1
        for(int i=5;i*i<=x;i+=6){
            while( x%i==0){
                x=x/i;
                res.push_back(i);
            }
            while(x%(i+2)==0){
                x=x/(i+2);
                res.push_back(i+2);
            }
            // 这一对孪生素数分解完之后，x若大于i*i，将继续分解；否则必然为小于i*i的质数
            // 反证：如果x为合数，则其因子不可能比先前分解的质因子要大（不然肯定被分解了），因此其因子比此前的所有质因子都大。
        }
    }
    if(res.size()==0) 
        return {x}; //无法分解，表明x为质数

    if(x!=1) res.push_back(x); //最后存在的质因子
    
    return res;
}


int main()
{
    long x;
    cin>>x;
    vector<long> res= getPrime(x);
    for(auto ele:res){
        cout<<ele<<" ";
    }
    
    return 0;
}