平衡二叉树

最新推荐文章于 2024-04-11 09:53:31 发布

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#平衡二叉树AVL

平衡二叉树是二叉排序树的一种优化形式，确保查找、插入和删除操作的时间复杂度为O(logn)。它通过限制左右子树高度差不超过1来保持平衡。在插入新结点后，如果发现最小不平衡子树，会通过旋转操作重新调整结构以恢复平衡。主要分为两种旋转：BF大于1时右旋，小于-1时左旋；若子树BF符号相反，则需要两次旋转来完成平衡操作。

为什么需要平衡二叉树？不平衡的二叉排序树的查找效率是非常低的，不平衡的最坏情况就是斜树，查找的时间复杂度是O(n)，等同于顺序查找。因此我们在构建时就让这棵二叉排序树是平衡二叉树，此时的查找时间复杂度是O(logn)，插入和删除也为O(logn)，这显然是一种比较理想的动态查找表算法。

平衡二叉树：是一种二叉排序树，其中每一个节点的左子树和右子树的高度差至多等于1。它是一种高度平衡的二叉树。

平衡因子：将二叉树上结点的左子树深度减去右子树深度的值称为平衡因子BF（Balance Factor）。

最小不平衡子树：距离插入结点最近，且平衡因子的绝对值大于1的结点为根的子树，我们称为最小不平衡子树。

平衡二叉树构建的基本思想就是在构建二叉排序树的过程中，每当插入一个结点时，先检查是否因插入而破坏了树的平衡性，若是，则找出最小不平衡子树。在保持二叉排序树特性的前提下，调整最小不平衡子树中各结点之间的链接关系，进行相应的旋转，使之成为新的平衡子树。

1、当最小不平衡子树根结点的平衡因子BF是大于1时，就右旋；小于-1时就左旋。

2、插入结点后，最小不平衡子树的BF与它的子树的BF符合相反时，就需要对结点先进行一次旋转使得符号相同后，再反向旋转一次才能够完成平衡操作。

#define EH 0
#define LH +1
#define RH -1

typedef struct BiTNode
{
	int data;
	int bf;
	struct BiTNode *lchild, *rchild;
}BiTNode, *BiTree;

void R_Rotate(BiTree *P)
{
	BiTree L;
	L = (*P)->lchild;
	(*P)->lchild = L->rchild;
	L->rchild = (*P);