4、计算机算术运算中的乘法算法解析

计算机算术运算中的乘法算法解析

1. 加法与减法的基础算法

在计算机算术运算里，加法和减法是基础操作。加法算法包含四个主要部分：
- 首先，将操作数 $x$ 和 $y$ 相加，得到中间和 $s’$。
- 若 $x \geq 0$ 且 $y \geq 0$（即两个操作数的符号位均为 0），当 $s’$ 的符号位为 1 时，表明发生了溢出；反之，$s’$ 就是正确的最终结果。
- 当 $x < 0$ 且 $y < 0$（两个符号位都是 1）时，进位输出会被忽略。若相加结果的符号位为 0，则发生溢出；否则，结果正确。
- 若 $x < 0$ 且 $y \geq 0$ 或者 $x \geq 0$ 且 $y < 0$（符号位不同），进位输出同样被忽略，$s’$ 为正确结果，这种情况下不会发生溢出。

通过添加一些逻辑门，就能够对加法器进行修改，从而在操作数采用二进制补码表示时检测溢出。

减法运算通常不单独设计减法器，而是采用将减数取反后与被减数相加的方式，即 $x - y = x + (-y)$。在二进制补码表示中，取反操作就是按位取反后加 1，这个 1 可以作为进位输入 $c_{-1}$ 加入运算。下图展示了一个二进制补码加法 - 减法器的高层设计：

graph LR
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    A[x]:::process --> B(Adder):::process
    C[y]:::process --> B