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最新推荐文章于 2022-08-03 22:33:14 发布

wantBe_better

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文章标签：动态规划

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/wantBe_better/article/details/126110930

版权

本文解析了一道关于寻找在给定两点间最优化食物获取路径的问题，通过状态转移方程将时间复杂度从O(n^3)降至O(n^2)，展示了动态规划在解决最短路径问题中的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题面：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/33190/A

分析 : 因为是求最优化问题，应会想到DP和贪心
然而贪心并不可取，不可以只先走较长的边（的二长的边距离其他点很远）
故
我们可以设 $dp_{i,j}$ 为从 $i$ 开始距离为 $j$ 时能得到的最多食物
可是在题目中 $(0 < N < 2001)$ 而时间复杂度为 $O(n^3)$ ,空间复杂度为 $O(n^4)$ ,显然不可取
实际上，我们可以设 $dp_i$ 为到 $i$ 点时能得到的最多食物
so,状态转移方程便为 $dp_i=max(dp_i,dp_{所有合法的起点j}+1)$
现在,时间复杂度便只为 $O(n^2)$ ,空间复杂度为 $O(n^2)$ ，可以通过这道题了
（对于转移时的存储，见代码）
代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long

using namespace std;

const int MXN=2007;

struct Edge{
	int x,y;
	LL w;
};

Edge p[MXN*MXN];
int x[MXN],y[MXN];
int dp[MXN];

inline int read(){
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){
		if(ch=='-'){
			f=-1;
		}
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}



bool cmp(Edge xx,Edge yy){
	return xx.w>yy.w;
}

int tp[MXN*MXN],top,V[MXN*MXN];

int main(){
	int i,j,k,n,len,res;
	LL v;
	memset(dp,200,sizeof(dp));
	n=read();
	for(i=1;i<=n;i++){
		x[i]=read(); y[i]=read();
	}
	dp[0]=0;
	len=0; res=0; top=0;
	for(i=0;i<=n;i++){
		for(j=i+1;j<=n;j++){
			v=1ll*(x[i]-x[j])*(x[i]-x[j])+1ll*(y[i]-y[j])*(y[i]-y[j]);
			len++;
			p[len].w=v;
			p[len].x=i; p[len].y=j;
			len++;
			p[len].w=v;
			p[len].x=j; p[len].y=i;
		}
	}
	sort(p+1,p+1+len,cmp);
	for(i=1;i<=len;i=j+1){
		j=i;
		while((j<len)&&(p[j+1].w==p[j].w)){
			++j;
		}
		top=0;
		for(;i<=j;i++){
			if(p[i].y){
				tp[++top]=p[i].y;
				V[top]=dp[p[i].x];
			}
		}	
		while(top){
			dp[tp[top]]=max(dp[tp[top]],V[top]+1);
			--top;
		}
	}
	for(i=0;i<=n;i++){
		res=max(res,dp[i]);
	}
	cout<<res<<"\n";
}