【组合数学】【校内测试】mathematics

最新推荐文章于 2025-11-09 17:18:05 发布

原创最新推荐文章于 2025-11-09 17:18:05 发布 · 264 阅读

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本文介绍了一种数学问题的解决方案，涉及组合数的计算及特定公式推导。具体包括求解给定数值下特定组合数的平方和以及与期望值相关的表达式的值，并通过高效的算法实现。

Mathematics

输入文件：mathematics.in
输出文件：mathematics.out
时间限制：1 second
空间限制：64 MB

题目描述

有 $n$ 个数，其中 $a_{i}$ ，与一个常数 $p$ 。
令 $E(a)=\sum_{i=1}^{n}a_ip_i$ ，其中 $p_i=C_n^ip^i(1-p)^{n-i}$ 。
求 $\sum_{i=0}^{n}[a_{i}-E(a)]^2p_i$ 与 $\sum_{i=0}^{n}(C_n^i)^2$ 的和。
结果对 $1e9+7$ 取余数。

输入格式

第一行一个正整数 $T$ 。
接下来行包含两个正整数 $n,p$ 。

输出格式

每行包含一个数，表示结果。一共 $T$ 行。

样例

样例输入

1
5 5

样例输出

152

数据范围

对于 $30%$ 的数据， $1<= n<= 1000$ 。
对于 $100%$ 的数据， $1<=n<=2e6$ ， $p<=1e5$ , $T<=1e5$ 。

纯推公式丫。了解几个基本公式就好了 $:)$ ：

1、 $\sum_{i=1}^{n}(C_n^i)^2=C_{2n}^n$

2、 $\sum_{i=1}^{n}{iC_n^i}=n\sum_{i=1}^{n}{C_{n-1}^{i-1}}$

3、 $\sum_{i=1}^{n}{i^2C_n^i}=\sum_{i=1}^{n}{i(i-1)C_n^i}+\sum_{i=1}^{n}iC_n^i$

4、 $\sum_{i=0}^{n}iC_n^i=n2^{n-1}$

不想打公式了嘤嘤嘤

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
const ll mod = 1e9+7;
using namespace std;

ll n, p;
ll pp[100005];

ll mpow ( ll a, ll b ) {
    ll an = 1;
    for ( ; b; b >>= 1, a = a * a % mod )
        if ( b & 1 ) an = an * a % mod;
    return an;
}

ll reverse ( ll a ) {
    return mpow ( a, mod - 2 );
}

ll jc[2000006];

void init ( ) {
    jc[0] = 1;
    for ( int i = 1; i <= 2000000; i ++ )
        jc[i] = jc[i-1] * i % mod;
}

ll comb ( int a, int b ) {
    return jc[a] * reverse ( jc[b] ) % mod * reverse ( jc[a-b] ) % mod;
}

int main ( ) {
    freopen ( "mathematics.in", "r", stdin );
    freopen ( "mathematics.out", "w", stdout );
    int T;
    scanf ( "%d", &T );
    init ( );
    while ( T -- ) {
        scanf ( "%I64d%I64d", &n, &p );
        ll t2 = comb ( 2 * n, n );
        ll x = n * p % mod;
        ll t1 = ( x % mod * ( 1 - p ) % mod + mod ) % mod;
        printf ( "%I64d\n", ( ( t1 + t2 ) % mod + mod ) % mod );
    }
    return 0;
}