图论学习---序列是否可图？

（Havel-Hakimi 定理）

由非负整数组成的非增序列s：d1, d2, …, dn(n ≥ 2, d1 ≥ 1)是可图的，当且仅当序列
                  s1: d2 – 1, d3 – 1, …, dd1+1 – 1, dd1+2, …, dn
是可图的。序列s1 中有n-1 个非负整数，s 序列中d1 后的前d1 个度数（即d2～dd1+1）减1 后构成
s1 中的前d1 个数。

不可图的情况：

(1)某次对剩下序列排序后，最大的度数（设为d1）超过了剩下的顶点数；

(2) 对最大度数后面的d1 个度数各减1 后，出现了负数。

例如：

（1）序列s:7, 7, 4, 3, 3, 3, 2，最大的度数为7，而除去最大度数7之后，序列s1:7,4,3,3,3,2只有6个元素，小于7，不可图。

（2）序列s:7,7,4,3,3,3,2,1,最大度数为7，序列s可图当且仅当s1:6,3,2,2,2,1,0可图，s1可图仅当s2:2,1,1,1,0，-1可图，显然s2中有负数，s2不可图，所以s不可图。

应用：

青蛙的邻居（Frogs' Neighborhood）
题目描述：
未名湖附近共有n 个大小湖泊L1, L2, ..., Ln（其中包括未名湖），每个湖泊Li 里住着一只青蛙
Fi（1≤i≤n）。如果湖泊Li 和Lj 之间有水路相连，则青蛙Fi 和Fj 互称为邻居。现在已知每只青蛙的
邻居数目x1, x2, ..., xn，请你给出每两个湖泊之间的相连关系。
输入描述：
第一行是测试数据的组数t（0 ≤ t ≤ 20）。每组数据包括两行，第一行是整数n（2 ≤ n ≤ 10），
第二行是n 个整数，x1, x2,..., xn（0 ≤ xi < n）。
输出描述：
对输入的每组测试数据，如果不存在可能的相连关系，输出"NO"。否则输出"YES"，并用n×n
的矩阵表示湖泊间的相邻关系，即如果湖泊i 与湖泊j 之间有水路相连，则第i 行的第j 个数字为
1，否则为0。每两个数字之间输出一个空格。如果存在多种可能，只需给出一种符合条件的情形。
相邻两组测试数据之间输出一个空行。
样例输入：
2
7
4 3 1 5 4 2 1
6
4 3 1 4 2 0

样例输出：

YES
0 1 1 1 1 0 0
1 0 0 1 1 0 0
1 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 1 1 1
1 1 0 1 0 1 0
0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0
NO

很明显这个题目给的序列是湖泊的度数，应用HAVEL-HAKIMI定理即可。

c++代码：

#include<iostream>
#include<string>
#include<sstream>
#define N 15
using namespace std;
//此结构包括每个湖泊的编号和度数
struct Node
{
	unsigned int index;
	int degree;
} nodes[N];
int Edge[N][N];//邻接矩阵
int Cmp(const void* a,const void* b)
{
	return ((Node*)b)->degree -((Node*)a)->degree;
}

int main()
{
	int nTest,nLake;//,测试数目，湖泊数目
	bool flag;
	cin>>nTest;
	string line;
	

	while(nTest--){
		cin>>nLake;
		getline(cin,line);//跳到下一行

		getline(cin,line);
		istringstream ss(line);
		//初始化
		for(int i=0;i<nLake;i++){
			ss>>nodes[i].degree;
			nodes[i].index=i;
		}
		memset(Edge,0,sizeof(Edge));
		flag=true;

		for(int i=0;i<nLake&&flag;i++){
			//对nodes 数组后n-i个元素按非递增顺序排序
			qsort(nodes+i,nLake-i,sizeof(Node),Cmp);

			int maxDegree=nodes[i].degree;
			unsigned int index=nodes[i].index;

			//某次对剩下序列排序后，最大的度数（设为d1）超过了剩下的顶点数；
			if(maxDegree>nLake-i-1){
				flag=false;
				break;
			}

			for(int k=1;k<=maxDegree&&flag;++k){
				int j=i+k;
				if(nodes[j].degree<0){
					flag=false;
					break;
				}
				nodes[j].degree--;
				Edge[index][nodes[j].index]=Edge[nodes[j].index][index]=1;
			}
		}

		if(flag){
			cout<<"YES"<<endl;
			for(int i=0;i<nLake;++i){
				for(int j=0;j<nLake;++j){
					cout<<Edge[i][j]<<" ";
				}
				cout<<endl;
			}
		}else{
			cout<<"NO"<<endl;
		}
	}

	char c=getchar();
}