斐波那契数列

题目描述

大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项（从0开始，第0项为0）。

n<=39  比如1、1、2、3、5、8、13、21、34

 分析

首先想到递归的方法，根据公式F(n)=F(n-2)+F(n-1);(n>=3) 这种情况下 时间复杂度为O(2^n)，空间复杂度O(1).

代码

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        if(n == 0){
            return 0;
        }else if (n == 1){
            return 1;
        }else if( n == 2){
            return 1;
        }else{
            return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
        }
    }
}

总结

用递归实现比较简单，但是时间复杂度太高，学些了牛客网题解中的几种解法

优化1：空间复杂度换时间复杂度

思路：求出整个斐波那契数列，存入数组中，返回a[n].

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)

代码

public class Solution {
//要注意边界条件，i和n差了1
    public int Fibonacci(int n) {
        if(n==0)
            return 0;
        if(n==1)
            return 1;
        int[] a = new int[n];
        a[0] = 1;
        a[1] = 1;
        if(n >= 3){
            for(int i=2;i<n;i++){
                a[i] = a[i-1]+a[i-2];
            }
        }
        return a[n-1];
    }
}

优化2：只存储n和前面两个数字，其它的不存储，将空间复杂度降到O(1);

用中间变量的方法，而不再用数组存储

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        if(n==0)
            return 0;
        if(n==1)
            return 1;
        int sum = 1;
        int pre = 1;
        int ppre = 1;
        for(int i=2;i<n;i++){
            ppre = sum;
            sum += pre;
            pre = ppre;
        }
        return sum;
    }
}

持续优化：取消了一个临时变量

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        if(n==0)
            return 0;
        if(n==1)
            return 1;
        int sum = 1;
        int pre = 1;
        for(int i=2;i<n;i++){
            
            sum += pre;
            pre = sum-pre;
        }
        return sum;
    }
}

总结：

递归最简单，但时间复杂度太高。因为斐波那契数列的特殊性，每次输出新一个的斐波那契数只需要用到上两个的斐波那契数，所以只要把这两个数存起来，其余的数都不用存，进而降低空间复杂度。

扩展

青蛙跳台阶问题和小矩形覆盖大矩形问题本质上都是斐波那契数列。

还有一种O(logn)的解法，需要用到二维矩阵公式，具体见《剑指offer》