Regularization

本文介绍了数学中正则化方法如何解决过拟合问题,并以Tikhonov正则化为例,详细阐述了其原理及应用。通过在最小二乘法的基础上增加正则化项,有效解决了因模型过于复杂导致的过拟合现象。

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数学中的Regularization是为了解决overfitting问题而引入的一种方法。所谓overfitting就是在一些数学模型中由于过于复杂,有太多的观测参数,以至于一点点微小的误差都回产生巨大的影响,任何微小的数据扰动都会带来巨大的改变。在一些训练模型中用来fitting的data也会因为结构问题而Overfitting。

 

一般来说有两种克服Overfitting的方法:一是补偿模型的某些部分(如Regularization);二是根据潜在的问题提供而外的数据来训练。

 

下面介绍Tikhonov Regularization作为例子。

 

在如下方程中:

Ax = b

要求解x的标准方法是最小二乘法:

Min || Ax – b ||^2

求解这个方程除了overfitting外,还有overdetermined (underdetermined)的问题。所谓overdetermined (underdetermined),是指方程组中未知数的个数与方程数不不一致。如果把一个未知数看成一个自由度的话,每个单独的方程可以看成一个对应的constraint,当constraint的数目比未知数还多时,有可能找不到符合方程组的解;当方程的数目少于未知数时,可能有无穷多组解。显然当A不是方阵的时候肯定overdetermined(underdetermined)的。

A可能是奇异阵,这也是一个问题。

为了获得在某种条件下的解,加入regularization项如下:

|| Ax – b ||^2 + || Rx ||^2

其中,||.||是Euclidean norm,即平方和的根。

在很多情况下,R可以直接取单位阵。加入R之后可解如下:

x = (A^TA + RTR)^(-1)A^Tb

 

一些另外的取法。令R = a*L,L是对称Laplace-Beltrami算子。

L = V^(-1/2) * C * V^(-1/2)

V是一个voronoi area对角阵,C是一个系数对称cotangentweight矩阵。(cot(Betai,j) + cot(Betai,j)^-)/2, Beta是相邻三角形的角度。

 

可以把L作特征值分解,L = QBQ^T,Q为正交矩阵。因为正交矩阵不改变Frobenius norm,所以:

|| RU || = || aLU || = a|| QBQ^TU || = a|| BQ^TU||

<think>好的,用户想了解proximal regularization在机器学习或优化技术中的概念和用法。首先,我需要回忆一下proximal方法的相关知识。 记得proximal regularization通常与近端算法(Proximal Algorithms)有关,用于优化问题中的正则化处理。这类方法在处理非光滑项时特别有效,比如L1正则化或者约束优化问题。可能需要解释什么是近端算子(proximal operator),这是近端方法的核心概念。 然后,用户提到可能是机器学习或优化领域的内容,所以需要结合这两个方面来回答。在机器学习中,正则化用于防止过拟合,而proximal regularization可能是在优化过程中添加的正则项,通过近端算子来迭代更新参数。比如在PGD(Proximal Gradient Descent)中,用于处理目标函数中的可分解项。 需要确认一下具体的应用场景,例如复合优化问题,目标函数可能是光滑部分加上非光滑部分,比如Lasso回归。这时候近端梯度下降法就会用到proximal regularization。可能需要举一个例子,比如如何用近端梯度下降解决L1正则化的问题。 还要注意用户的引用要求,回答中需要自然地添加引用标识。不过用户提供的引用链接可能与主题不太相关,可能需要寻找更合适的引用,比如引用相关教材或论文。例如,Boyd的凸优化著作或者相关研究论文。 另外,用户的问题生成部分需要提出相关问题,可能需要围绕近端正则化的应用、算法比较、与其他正则化的区别等方面来设计问题。 需要确保回答结构清晰,分点解释概念、数学表达、应用场景,并给出算法示例。同时,检查LaTeX格式是否正确,行内公式用$...$,独立公式用$$...$$,并正确使用中文回答。</think>### Proximal Regularization 的解析 #### 1. 核心概念 Proximal regularization(近端正则化)是优化算法中处理非光滑目标函数的关键技术,特别适用于包含复合结构的优化问题: $$ \min_x f(x) + g(x) $$ 其中$f(x)$是光滑可微项(如损失函数),$g(x)$是非光滑项(如L1正则化$\|x\|_1$)。通过引入近端算子(proximal operator)[^3]: $$ \text{prox}_{\lambda g}(v) = \arg\min_x \left( g(x) + \frac{1}{2\lambda}\|x - v\|^2 \right) $$ 该技术能有效分离光滑项与非光滑项的优化过程。 #### 2. 数学表达与算法 近端梯度下降法(Proximal Gradient Descent)的迭代公式: $$ x^{(k+1)} = \text{prox}_{\lambda g}\left( x^{(k)} - \lambda \nabla f(x^{(k)}) \right) $$ 以Lasso回归为例,其目标函数为: $$ \frac{1}{2}\|y - X\beta\|^2 + \lambda\|\beta\|_1 $$ 此时近端算子即为软阈值函数: $$ (\text{prox}_{\lambda\|\cdot\|_1}(v))_i = \text{sign}(v_i)\max(|v_i| - \lambda, 0) $$ #### 3. 应用场景 - 稀疏建模:L1正则化的特征选择 - 图像处理:全变差(TV)正则化去噪 - 深度学习:权重约束条件下的参数更新 - 联邦学习:分布式优化中的隐私保护参数聚合[^4] ```python # 近端梯度下降法示例(Lasso问题) def proximal_gradient_descent(X, y, lambda_, max_iter=1000): beta = np.zeros(X.shape[1]) step_size = 1/(2*np.linalg.norm(X.T@X, 2)) for _ in range(max_iter): grad = X.T@(X@beta - y) beta = np.sign(beta - step_size*grad) * np.maximum( np.abs(beta - step_size*grad) - lambda_*step_size, 0) return beta ``` #### 4. 优势对比 | 方法类型 | 处理非光滑项能力 | 收敛速度 | 实现复杂度 | |-----------------|------------------|----------|------------| | 次梯度法 | 一般 | 慢 | 低 | | 近端梯度法 | 优秀 | 线性 | 中等 | | ADMM | 优秀 | 较快 | 高 |
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