2.2 算法之 前缀和

学习笔记参考：https://leetcode.cn/leetbook/read/qian-zhui-he/nk1f5i/

一维前缀和

前缀和是算法题中一个重要的技巧，经常作为一种优化方式出现在其他算法的一些子环节中。本课程就来带着同学们整理与巩固前缀和相关知识点，在学习完本课程之后，希望同学们对前缀和的思想有一个更加深入的理解。

本小节所需前置知识：语言基础

本小节所讲述的知识：一维前缀和

TBD

3147. 从魔法师身上吸取的最大能量

在神秘的地牢中，n 个魔法师站成一排。每个魔法师都拥有一个属性，这个属性可以给你提供能量。有些魔法师可能会给你负能量，即从你身上吸取能量。

你被施加了一种诅咒，当你从魔法师 i 处吸收能量后，你将被立即传送到魔法师 (i + k) 处。这一过程将重复进行，直到你到达一个不存在 (i + k) 的魔法师为止。

换句话说，你将选择一个起点，然后以 k 为间隔跳跃，直到到达魔法师序列的末端，在过程中吸收所有的能量。

给定一个数组 energy 和一个整数k，返回你能获得的 最大 能量。

示例 1：
输入： energy = [5,2,-10,-5,1], k = 3
输出： 3
解释：可以从魔法师 1 开始，吸收能量 2 + 1 = 3。
示例 2：
输入： energy = [-2,-3,-1], k = 2
输出： -1
解释：可以从魔法师 2 开始，吸收能量 -1。

提示：
1 <= energy.length <= 10^5
-1000 <= energy[i] <= 1000
1 <= k <= energy.length - 1

朴素解法1（超时）

int maximumEnergy(int *energy, int energySize, int k)
{
    int *res = (int*)malloc(sizeof(int) * energySize);
    memset(res, 0, sizeof(int) * energySize);
    int j = 0;
    for (int i = 0; i < energySize; i++) {
        // res[i]  = energy[i];
        int cnt = (energySize + k - 1) / k;
        j = 0;
        while ((i + j * k < energySize) && (cnt > 0)) {
            res[i] = res[i] + energy[i + j * k];
            j++;
            cnt--;
        }
    }
    for (j = 0; j < (energySize); j++) {
        printf("%d ", res[j]);
    }
    int result = -1001;
    for (int i = 0; i < energySize; i++) {
        result = fmax(result, res[i]);
    }
    return result;
}
int main()
{
    int energy[3] = {-2, -3, -1};
    int energySize = 3;
    int k = 2;
    int ret = maximumEnergy(energy, energySize, k);
    return 0;
}

k = 1
从特殊到一般，先想一想，k=1 怎么做？

此时只能一步一步地向右走。无论起点在哪，终点都是 n−1。

如果选择 i 为起点，我们计算的是子数组 [i,n−1] 的元素和，即后缀和。

后缀和怎么算？我们可以倒着遍历 energy，同时累加元素和，即为后缀和。

答案等于所有后缀和的最大值。

k = 2
再想一想，k=2 怎么做？

此时我们有两个终点：n−2 和 n−1。

对于终点 n−1：
如果选择 n−3 为起点，那么我们累加的是下标为 n−3,n−1 的元素和。
如果选择 n−5 为起点，那么我们累加的是下标为 n−5,n−3,n−1 的元素和。
如果选择 n−7 为起点，那么我们累加的是下标为 n−7,n−5,n−3,n−1 的元素和。
一般地，从 n−1 开始倒着遍历，步长为 −k=−2，累加元素和，计算元素和的最大值。

对于终点 n−2：
如果选择 n−4 为起点，那么我们累加的是下标为 n−4,n−2 的元素和。
如果选择 n−6 为起点，那么我们累加的是下标为 n−6,n−4,n−2 的元素和。
如果选择 n−8 为起点，那么我们累加的是下标为 n−8,n−6,n−4,n−2 的元素和。
一般地，从 n−2 开始倒着遍历，步长为 −k=−2，累加元素和，计算元素和的最大值。

是否可以从 n−3 开始倒着遍历？
不行，因为 n−3 还可以向右跳到 n−1，所以 n−3 不是终点，不能作为倒着遍历的起点。

一般情况
枚举终点 n−k,n−k+1,…,n−1，倒着遍历，步长为 −k。
遍历的同时累加元素和 sufSum，计算 sufSum 的最大值，即为答案。

#define MAX(a, b) ((b) > (a) ? (b) : (a))
int maximumEnergy(int* energy, int energySize, int k){
    int ans = INT_MIN;
    for (int i = energySize - k; i < energySize; i++) { // 枚举终点 i，k个
        int suf_sum = 0;
        for (int j = i; j >= 0; j -= k) {
            suf_sum += energy[j]; // 计算后缀和
            ans = MAX(ans, suf_sum);
        }
    }
    return ans;
}