1.16 LeetCode总结（基本算法）动态规划2-优快云博客

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本文介绍了递归求解爬楼梯问题中的重复计算问题，通过引入备忘录和动态规划的方法降低时间复杂度，对比了自顶向下和自底向上的解法，以及以0-1背包问题为例展示了动态规划的应用过程。

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70. 爬楼梯

在这里插入图片描述
首先想到的是递归：

// 递归
int climbStairs(int n) {
   
   

	if (n == 1) {
   
   
		return 1;
	} else if (n == 2) {
   
   
		return 2;
	}

	return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);
}

在这里插入图片描述
我们先来看看这个递归的时间复杂度吧：

递归时间复杂度 = 解决一个子问题时间*子问题个数
一个子问题时间 = f(n-1)+ f(n-2)，也就是一个加法的操作，所以复杂度是 O(1)；
问题个数 = 递归树节点的总数，递归树的总节点 = 2^{n-1，所以是复杂度O(2}n)。
因此，青蛙跳阶，递归解法的时间复杂度 = O(1) * O(2^n) = O(2^n)，就是指数级别的，爆炸增长的，如果n比较大的话，超时很正常的了。

回过头来，你仔细观察这颗递归树，你会发现存在大量重复计算，比如 f(8) 被计算了两次，f(7) 被重复计算了3次…所以这个递归算法低效的原因，就是存在大量的重复计算！

既然存在大量重复计算，那么我们可以先把计算好的答案存下来，即造一个备忘录，等到下次需要的话，先去备忘录查一下，如果有，就直接取就好了，备忘录没有才开始计算，那就可以省去重新重复计算的耗时啦！这就是带备忘录的解法。

自底向上的动态规划
动态规划跟带备忘录的递归解法基本思想是一致的，都是减少重复计算，时间复杂度也都是差不多。但是呢：

带备忘录的递归，是从f(10)往f(1）方向延伸求解的，所以也称为自顶向下的解法。
动态规划从较小问题的解，由交叠性质，逐步决策出较大问题的解，它是从f(1)往f(10）方向，往上推求解，所以称为自底向上的解法。
动态规划有几个典型特征，最优子结构、状态转移方程、边界、重叠子问题。在青蛙跳阶问题中：

f(n-1) 和 f(n-2) 称为 f(n) 的最优子结构
f(n) = f(n-1) + f(n-2) 就称为状态转移方程
f(1) = 1, f(2) = 2 就是边界啦
比如f(10)= f(9)+f(8), f(9) = f(8) + f(7) , f(8)就是重叠子问题。
我们来看下自底向上的解法，从 f(1) 往 f(10) 方向，想想是不是直接一个for循环就可以解决啦，如下：
在这里插入图片描述

int climbStairs(int n){
   
   
    //f(x) = f(x-1) + f(x-2) 
    if (n <= 1){
   
    // 第0阶和第1阶只有一种方法
        return 1;
    }
    int way;
    int memo[2] = {
   
   1,1};
    for (int i