第k个数+逆序对+三次方根

1. 第k个数 快速选择算法

快排回顾：
（1）找分界点x，x的三种取法：q[l]，q[(l+r)/2]，a[r]；
（2）划分，将整个区间划分成两段，使得左边所有数Left <= x，右边所有数 Right >= x（所有小于x的数都在左边，大于x的数都在右边，等于x的数可能在左边也可能在右边），分界点的数不一定等于x；
（3）递归排序左右两边。
快速选择算法的思路：
做完前两步之后，会把区间划分成左右两段，左边所有的数都是严格小于等于右边所有的数，假设左边数的个数是S_L，右边数的个数是S_R。左边区间的数就是整个区间最小的数。
① 如果 k <= S_L：第k小的数一定是在左边，此时只需要递归左边。
② 如果 k > S_L：第k小的数在右半边，递归右半边，整个区间第k小的数，就是右半边第k - S_L小的数。（比如说左半边有3个数，现在要求整个区间第4小的数，那么这个数应该在右边区间排序后的第4-3 = 1个）
快速选择算法时间复杂度：O(n)

题目：给定一个长度为 n 的整数数列，以及一个整数 k，
	请用快速选择算法求出数列	从小到大排序后的第 k 个数。
	
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 k。
第二行包含 n 个整数（所有整数均在 1∼109 范围内），表示整数数列。

输出格式
输出一个整数，表示数列的第 k 小数。

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 100010;
int n,k;
int q[N]; 
 
int quick_check(int l,int r,int k) 
//c++中如果局部变量和全局变量重名，优先局部 
{
	if(l == r) // 说明区间中只有一个数 
		return q[l];  
	
	int x = q[l],i = l - 1,j = r + 1;
	
	while(i < j)  
	{
		while(q[++i] < x);
		while(q[--j] > x);
		if(i < j) swap(q[i],q[j]);
	}
	int sl = j - l + 1;
	if(k <= sl) return quick_check(l,j,k);
	else quick_check(j+1,r,k-sl);
}

int main()
{
	cin >> n >> k;
	
	for(int i = 0;i < n;i++)
		cin >> q[i];
		
	cout << quick_check(0,n-1,k) << endl;
	
	return 0;
}

2 逆序对

归并排序回顾：
（1）将区间划分成左右两边：[L,R] => [L,mid], [mid + 1,R]；
（2）递归排序[L,mid] 和 [mid + 1, R]；
（3）归并，将左右两个有序序列合并成一个有序序列。

题目：
逆序对的定义如下：对于数列的第 i 个和第  j  个元素，
如果满足 i < j  且 a[i] > a[j]，则其为一个逆序对；否则不是。
（从数列中选两个数，前一个数比后一个数大）

输入格式
第一行包含整数 n，表示数列的长度。
第二行包含 n 个整数，表示整个数列。

输出格式
输出一个整数，表示逆序对的个数。

三类逆序对：
（1）两个数都出现在左半边；
（2）两个数都出现在右半边；
（3）出现在左右半边。

1. 求左半边逆序对的数量：merge_sort(L,mid);
2. 求右半边逆序对的数量：merge_sort(mid + 1,R);
3. 分布在左右两边：取右半边区间的第一个数R[1]，假设左半边区间有S1个数比R[1]大，那么和这个数构成逆序对的数量就是S1；以此类推……，取右半边区间的最后一个数R[m]，假设左半边区间有Sm个数比R[m]大，那么和这个数构成逆序对的数量就是Sm。共有: S1 + S2 + … + Sm 。如何快速地算出S1 ~ Sm？

#include<iostream>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 100010;
int n;
int q[N],tmp[N]; 
 
ll merge_sort(int l,int r)
{
	if(l >= r)
		 return 0;
	int mid = l + r >> 1;
	ll res = merge_sort(l,mid) + merge_sort(mid + 1,r);
	
	// 归并的过程
	int k = 0,i = l,j = mid + 1;
	while(i <= mid && j <= r)
	{
		if(q[i] <= q[j]) 
			tmp[k++] = q[i++];
		else
		{
			tmp[k++] = q[j++];
			res += mid - i + 1;
		}
		
	 } 
	 // 扫尾
	 while(i <= mid) tmp[k++] = q[i++];
	 while(j <= r) tmp[k++] = q[j++];
	 // 物归原主
	 for(int i = l,j = 0;i <= r;i++,j++)
	 	q[i] = tmp[j]; // i指向原数组，j指向临时数组 
	
	return res;
}

int main()
{
	cin >> n;
	for(int i = 0; i < n;i++)
		cin >> q[i];
	cout << merge_sort(0,n-1)<<endl;
	return 0;
}

3 数的三次方根

类型：浮点数的二分
已知x，求x的三次方根（分界点就是x的三次方根）
mid = (l + r) / 2;
if ( mid ^ 3 >= x ) : 分界点 x的三次方根 应该在 mid 的左边（mid >= x开三次方根），将区间更新为[ l , mid ] ，即 r = mid ;
if ( mid ^ 3 < x) ：( mid >= x开三次方根 )，将区间更新为 [ mid , r ]，即 l = mid 。

#include<iostream>
using namespace std;

int main()
{
	double x;
	cin >> x;
	
	double l = -10000, r = 10000;
	while(r - l > 1e-8) // 题目要求结果保留 6 位小数
	{
		double mid = (l + r) / 2;
		if(mid * mid * mid >= x)
			r = mid;
		else 
			l = mid;
	 } 
	printf("%lf\n",l);  // 输出l或r都可以，因为l和r足够接近 
	return 0;
}

关于如何处理“保留几位小数” 这个问题？