第三章作业

一、请写出以下题目的动态规划方程：

设有 N堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述。用数组a[N]表示每堆石子的质量，sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量

现在要将这 N堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；

如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

 格式如下：

状态表示：

a[N]: 每堆石子的质量

sum[i][j]:第i堆石子到第j堆石子的总质量

d[i][j]：从第i堆到第j堆合并石子的最小代价；

状态方程：

dp[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]) 

 if（ i<=k<j <=N  ）

边界条件：dp[i][j]=0   if（ i==j）

时间、空间复杂度分析：

时间复杂度：O(n³)

空间复杂度：O(n²)

 

二.、结合本章的学习，总结你对动态规划法的体会和思考

动态规划算法通常用于求解某种具有最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解，每一个解都对应一个值，我们希望找到具有最优值的解。

动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解的问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解中 得到原有问题的解。与分治法不同的是，动态规划经分解后得到的子问题往往 不是相互独立 的

某些可用递归算法解决的问题可用动态规划解决，避免重复计算