http://www.csie.ntnu.edu.tw/~u91029/Polygon.html
Polygon
多邊形是由許多條邊、端點對著端點串接成一圈的圖形。
資料結構
想要紀錄一個多邊形的資訊，有許多種方法，例如：一、按照連接順序把多邊形的邊放到一個陣列裡面；二、按照連接順序把多邊形的頂點放到一個陣列裡面；三、挑一個頂點作為起點，從起點開始按照連接順序把各條邊的長度、邊與邊之間的夾角放到一個陣列裡面。
這幾種方法的空間複雜度都是 O(N) ， N 為多邊形的頂點數目，也可以說是邊的數目。
- struct Point {float x, y;};
- struct Segment {Point p1, p2;};
- struct Walk {float length, angle;};
- Segment polygon[10]; // 一
- Point polygon[10]; // 二
- Point original; // 三
- Walk polygon[10];
多邊形分類：數學的觀點
多邊形（Polygon）：由許多條邊、端點對著端點串接成一圈的圖形。 簡單多邊形（Simple Polygon）：所有的邊都不相交，只有相鄰的邊可以相交於一個頂點。 凹多邊形（Convave Polygon）：多邊形內部必有兩點連線，穿過多邊形外部。 凸多邊形（Convex Polygon）：多邊形內部所有兩點連線，都在多邊形內部。
正多邊形（Regular Polygon）：每條邊都一樣長、每個角都一樣大的多邊形。 凸的正多邊形：就是我們熟悉的正三角形、正方形、正五邊形、……。 凹的正多邊形：就是正五角星、正七角星、正八角星、……。 詳細資料請自行搜尋關鍵字Regular Star Polygon。
多邊形分類：計算學的觀點
簡單多邊形（ Simple Polygon ）。所有的邊都不相交，只有相鄰的邊可以相交於一個頂點。
簡單多邊形圍出一個明確的封閉區域。一般的多邊形無法分辨內外，而簡單多邊形可以明確分辨內外。
沿邊走一回，剛好自旋 360° ；所有外角相加是 360° 。我們習慣讓頂點順序是逆時針方向，以符合叉積的方向。
單調多邊形（ Monotone Polygon ）。至少存在一條直線，這條直線的每一條垂直線，與單調多邊形的交點在兩點以下。
換句話說，單調多邊形旋轉至某個角度之後，可以切割成上下兩條鏈，兩條鏈都符合函數定義。單調多邊形可以寫成兩個函數。
換句話說，單調多邊形有兩條鏈，在某個方向上先單調遞增、再單調遞減，彷彿單峰函數。
簡單一句話：單調多邊形是兩條已排序的鏈。
凸多邊形（ Convex Polygon ）。總是朝同一個方向轉彎。
凸多邊形同時是簡單多邊形和單調多邊形，無論哪種方向都是單調多邊形。數學性質非常強！
正交多邊形（ Orthogonal Polygon 、 Rectilinear Polygon ）。每條邊都平行於座標軸，轉彎總是轉 90° 或 270° 。
有洞的多邊形（ Polygon with Hole ）。多邊形的內部有數個洞，洞的內部有數個多邊形。有洞的多邊形，其實不屬於多邊形，其實是數個多邊形。我們可以用順時針代表多邊形、逆時針代表洞。計算多邊形的聯集、交集、差集，結果常常是有洞的多邊形。
Polygon Area
程度★ 難度★★
多邊形面積（ Surveyor's Formula ）
凸多邊形是特例中的特例，我們試著從凸多邊形開始觀察。
運用分治法的思想，把凸多邊形分割成三角形，就容易計算面積了。取凸多邊形內部一點作為基準點，連線至各個頂點，把凸多邊形切開成許多個三角形。現在我們可以利用叉積，計算每個三角形的面積；然後通通加起來，得到凸多邊形面積。
詳細的步驟是： 一、建立基準點往各個頂點的向量。 二、依照頂點順序，計算相鄰向量的叉積，得到平行四邊形面積。 三、除以二，得到三角形面積。 四、三角形面積通通加起來，得到凸多邊形面積。 步驟三和步驟四可以顛倒，除以二的次數變成只有一次： 三、平行四邊形面積通通加起來，得到凸多邊形面積的兩倍。 四、除以二，得到凸多邊形面積。
事實上，基準點也可以在凸多邊形邊界、甚至是外部。此時叉積的結果有正值和負值，正值恰好對應到總面積，負值剛好對應到多餘面積。通通加起來，正負相消之後，恰好仍是凸多邊形面積。
基準點設定在原點是最方便的，如此一來就不必特地計算基準點往各個頂點的向量，可以直接拿相鄰兩點的座標計算叉積。
此演算法可以推廣到簡單多邊形，甚至是一般的多邊形。時間複雜度為 O(N) ， N 為多邊形的頂點數目。
我們可以把結果寫成數學式子，正是知名的行列式公式：
1 | x1 x2 x3 xN-1 xN x1 |
area = --- * | × × ... × × |
2 | y1 y2 y3 yN-1 yN y1 |
右下斜線相乘取正號，左下斜線相乘取負號，然後通通加起來，除以二。
如果是逆時針旋轉，求出來為正值。
如果是順時針旋轉，求出來為負值，必須再取絕對值。
一般來說我們會讓多邊形頂點順序為逆時針順序，以求得正值。
- struct Point {float x, y;} p[10 + 1]; // 十個頂點的多邊形
- float cross(Point& a, Point& b)
- {
- return a.x * b.y - b.x * a.y;
- }
- void polygon_area()
- {
- p[10] = p[0];
- float area = 0.0;
- for (int i=0; i<10; ++i)
- area += cross(p[i], p[i+1]);
- cout << "多邊形面積為" << fabs(area) / 2.0;
- }
- struct Point {float x, y;} p[10]; // 十個頂點的多邊形
- void polygon_area()
- {
- float area = 0.0;
- for (int i=0; i<10; ++i)
- {
- area += p[i].x * p[(i+1)%N].y;
- area -= p[i].y * p[(i+1)%N].x;
- }
- cout << "多邊形面積為" << fabs(area) / 2.0;
- }
- struct Point {float x, y;} p[10]; // 十個頂點的多邊形
- void polygon_area()
- {
- // 避免了%運算、避免了重複的+1運算，執行時間較短。
- float area = 0.0;
- for (int i=10-1, j=0; j<10; i=j++)
- {
- area += p[i].x * p[j].y;
- area -= p[i].y * p[j].x;
- }
- cout << "多邊形面積為" << fabs(area) / 2.0;
- }
UVa 10060 10652 922
多面體體積
與多邊形面積的原理完全一樣。基本單元從三角形變成了四面體。
- struct Point {float x, y, z;};
- struct Facet {Point a, b, c;} f[10];
- float dot(Point a, Point b)
- {
- return a.x * b.x + a.y * b.y + a.z * b.z;
- }
- Point cross(Point a, Point b)
- {
- return (Point){
- a.y * b.z - b.y * a.z,
- a.z * b.x - b.z * a.x,
- a.x * b.y - b.x * a.y
- };
- }
- float triple(Point a, Point b, Point c)
- {
- return dot(a, cross(b, c));
- }
- void polygon_volume()
- {
- float volume = 0.0;
- for (int i=0; i<10; i++)
- volume += triple(f[i].a, f[i].b, f[i].c);
- cout << "多面體體積為" << fabs(volume) / 6.0;
- }
多邊形形心 / 多邊形重心
重力場均勻的時候，重心退化成為形心。
一群點的重心，是這些點的座標平均值，也就是 X 座標的平均值、 Y 座標的平均值。
多邊形的重心，則是多邊形內部暨邊界上所有點的座標平均值。但是不見得是所有頂點的座標平均值。
只有一些特別的多邊形，重心恰好是所有頂點的座標平均值──例如三角形的重心，恰好是三個頂點的座標平均值。
使用分治法的概念，把多邊形切開成許多個三角形，分別計算各個三角形的重心。然後以三角形面積做為權重，計算三角形重心的加權平均值，就得到多邊形的重心。
o + p0 + p1 o + p1 + p2
c0 = ------------- c1 = ------------- ...
3 , 3 ,
cross(p0, p1) cross(p1, p2)
a0 = --------------- a1 = --------------- ...
2 , 2 ,
c0 * a0 + ... + c9 * a9
centroid = -------------------------
a0 + ... + a9
- struct Point {int x, y;} p[10];
- void polygon_centroid()
- {
- float cx = 0, cy = 0, w = 0;
- for (int i=10-1, j=0; j<10; i=j++)
- {
- float a = cross(p[i], p[j]);
- cx += (p[i].x + p[j].x) * a;
- cy += (p[i].y + p[j].y) * a;
- w += a;
- }
- cout << "多邊形的重心座標為";
- cout << '(' << cx/3/w << ',' << cy/3/w << ')';
- }
UVa 10002 132 ICPC 4838
Point in Polygon
程度★ 難度★★
判斷一個點是否在凸多邊形內部
很直覺但是不精準的方式，是沿著凸多邊形外圍繞一圈，看看點是不是在每一條邊的同側。若發現叉積皆小於零，即表示點在多邊形內部：若發現叉積等於零，即表示點在凸多邊形上、或在凸多邊形某條邊的延伸線上；若發現叉積大於零，則表示點在凸多邊形外部。
正確的方式，是將點到凸多邊形頂點的各條向量，利用叉積運算判斷是否都往同一方向旋轉，如果都是往同一方向旋轉，則表示點在凸多邊形內部；如果中途出現反方向旋轉，則表示點在凸多邊形外部；如果中途出現叉積為零的情況，表示點在凸多邊形上，而且就在對應的邊上。
時間複雜度為 O(N) ， N 為凸多邊形的頂點數目。
UVa 109 361 476 477 478 10078 10291 10321
不斷查詢一個點是否在凸多邊形內部
凸多邊形內任選一點作為原點（例如所有點的平均值），然後依角度大小排序凸多邊形的所有頂點。之後就可以用 Binary Search 找出給定的點在哪個夾角之內，最後判斷點是不是在此夾角構成的三角形裡面。
O(NlogN) 預處理， O(logN) 求答案。
判斷一個點是否在簡單多邊形內部
從給定點開始，往隨便一個方向（實作時習慣水平往右）射出一條無限長射線，看看穿過多少條邊。如果穿過偶數次，表示點在簡單多邊形外部；如果穿過奇數次，表示點在簡單多邊形內部。
要小心處理射線穿過頂點、射線與邊重疊的情況。也要小心處理點在多邊形邊界上的情況。
時間複雜度為 O(N) ， N 為簡單多邊形的頂點數目。
- struct Point {float x, y;} p[10];
- // 無法正確判斷點在多邊形上的情況
- bool point_in_polygon(Point& t)
- {
- bool c = false;
- for (int i = 0, j = 10-1; i < 10; j = i++)
- if ((p[i].y > t.y) != (p[j].y > t.y) &&
- t.x < (p[j].x-p[i].x)*(t.y-p[i].y)/(p[j].y-p[i].y)+p[i].x;)
- c = !c;
- return c;
- }
UVa 634 11030 10348
不斷查詢一個點是否在簡單多邊形內部
Visibility of Polygon
程度★ 難度★★★
一個點的可見區域，被一個凸多邊形遮擋
點在凸多邊形內部。一定可以看見整個凸多邊形。回顧一下凸多邊形的定義：多邊形內部所有兩點連線，都在多邊形內部。令其中一點是給定的點，令另外一點是可見的點，兩點之間一定不會被凸多邊形遮擋。
點在凸多邊形上面。如果歸類於內部，可見區域就是整個凸多邊形；如果歸類於外部，可見區域的邊界，就是該點碰觸的邊的延長線。
點在凸多邊形外部。上下兩條切線圍住的區域受到影響，可見區域變成切線與凹面圍住的區域。找切線很簡單：建立點到凸多邊形各頂點的向量，運用叉積找出轉至最右、轉至最左的向量。
時間複雜度為 O(N) 。
UVa 746
一個點的可見區域，被一個簡單多邊形遮擋
點在多邊形內部。被一個簡單多邊形遮擋的可見區域，也是簡單多邊形。採用 Incremental Method ，從一個可見的頂點開始，依照逆時針順序，一次讀入一條邊，隨時更新當下的可見區域。一共分成六種情況：
一、可見區域直接增加一條邊。 二、可見區域增加一條割線。 割線會撞到多邊形以後的邊，屆時就能求得割點。 三、可見區域切除看不見的部分，改為一條割線。 割線會撞到可見區域以前的邊，必須倒退找割點。 四、同三。 五、同一。 六、同二。
http://arxiv.org/pdf/1111.3584v2.pdf
倒退找割點，頂多倒退 N 條邊。時間複雜度為 O(N) 。
附帶一提，如果預先找到兩個以上可見的頂點，就可以切斷成鏈，實施 Divide and Conquer 。
點在多邊形上面、外部。原理相同，不再贅述。
【待補程式碼】
UVa 10907
一個點的可見區域，被數個凸多邊形遮擋
點在凸多邊形外部、凸多邊形們都不相交，才有討論價值。
處理大量幾何資料，最常見的手法就是掃描線和旋轉卡尺了。此處採用旋轉的掃描線，以給定點為基準，依照極角大小掃描所有頂點。當下掃中的點，如果被前一點的鄰邊遮擋，就馬上刪除此點。時間複雜度 O(NlogN) 。
可以加速到 O(N+HlogH) 。牽涉到直線與凸多邊形交點的演算法。
一個點的可見區域，被數個簡單多邊形遮擋
採用旋轉的掃描線。先找到每個多邊形的兩條切線（以及到切點的距離）。所有切線按照角度排序之後，依序處理每個區間即可，用一棵二元樹動態維護每個多邊形的可見順序。時間複雜度 O(NlogH) ， N 是所有頂點的數目， H 是所有多邊形的數目。
比較容易實作的方式。先找到視點到各頂點的射線（以及到頂點的距離）。所有射線按照角度排序之後，依序處理每個區間即可，用一棵二元樹動態維護每條邊的可見順序。時間複雜度 O(NlogN) 。
Kernel of Polygon
程度★★ 難度★
凸多邊形的核
位於多邊形內部，可以看到整個多邊形內部的地方，稱做「核」。「核」是設置監視攝影機、地標、廣告看板的好地方。「核」可能是風水最旺的地方。
一個多邊形的核，其實就是所有邊的「半平面交集」。一個多邊形的核，可能是一個凸多邊形、一條線段、一個點、空集合。
凸多邊形的核，顯然就是原本的凸多邊形。
簡單多邊形的核
直接套用半平面交集演算法，時間複雜度為 O(NlogN) 。借用 Visibility Polygon 演算法的手法，時間複雜度得壓至 O(N) 。
ICPC 2512 UVa 588
Star-shaped Polygon
「星狀多邊形」就是擁有核的多邊形。與旋轉的掃描線有一點點關聯。
注意到「 Star-shaped Polygon 」與「 Star Polygon 」是完全不一樣的東西。
ICPC 3616
Line-Polygon Intersection
（Under Construction!）
程度★★ 難度★★
判斷直線與凸多邊形相交
採用Incremental Method，拆解凸多邊形成為許多邊，變成判斷直線與大量線段相交。採用窮舉法，時間複雜度為O(N)。
不適合採用「Segment Intersection」，畢竟不必判斷凸多邊形自身的邊是否相交。
不斷查詢直線是否與一個凸多邊形相交
極大/極小頂點查詢 O(logN) 直線是否相交查詢 O(logN)
ICPC 4837
判斷直線與簡單多邊形相交
一樣是窮舉法。沒什麼特別的。
UVa 10867 10974
不斷查詢直線是否與一個簡單多邊形相交
說實在話，我也不會。也許是「Bounding Volume Hierarchy」資料結構。
Polygon Intersection
（Under Construction!）
程度★★ 難度★★
兩個凸多邊形的交集
半平面交集 O(NlogN) 平移掃描線 O(N) 交互前進 O(N)
外側向量超車擋在內側向量前面，車頭向內。 任選兩向量開始 先繞一圈找到交點 接下來再繞一圈，內側有前進的話，就會漸漸圍出交集 最後到達最初的交點時，結束 要小心退化的情況。
UVa 137 10321
兩個簡單多邊形的交集、聯集、差集
求出所有線段交點的演算法，略作修改。O(NlogN + K)。
UVa 805
兩個簡單多邊形的交集、聯集、差集（Minkowski Sum）
【待補文字】
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