杜教筛（SUM）

前言

设数论函数$g$的前缀和为$s(n)$。

对于数论函数$f,g$，求其狄利克雷卷积的前缀和：
$\stackrel{n}{\sum _{i=1}}(f\ast g)(i)$
$=\stackrel{n}{\sum _{i=1}}\stackrel{n}{\sum _{d=1}}f(d)g(\frac{i}{d})[d|i]$
$=\stackrel{n}{\sum _{d=1}}\stackrel{n}{\sum _{i=1}}[d|i]f(d)g(\frac{i}{d})$
$=\stackrel{n}{\sum _{d=1}}f(d)\stackrel{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }{\sum _{i=1}}g(i)$
$=\stackrel{n}{\sum _{d=1}}f(d)s\left(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor \right)$
$=\stackrel{n}{\sum _{d=1}}f(d)s\left(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor \right)$

这也就是说，若数论函数$f$的前缀和为$n$，则有：
$\stackrel{n}{\sum _{i=1}}(f\ast g)(i)=\stackrel{n}{\sum _{i=1}}g(i)s\left(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \right)=g(1)s(n)+\stackrel{n}{\sum _{i=2}}g(i)s\left(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \right)$

因此：
$g(1)s(n)=\stackrel{n}{\sum _{i=1}}(f\ast g)(i)-\stackrel{n}{\sum _{i=2}}g(i)s\left(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \right)$

杜教筛

杜教筛用于快速求数论函数前缀和。

对于要求的函数$f$，定义其前缀和为$s$，则需要构造辅助函数$g$，使得其狄利克雷卷积的前缀和与$g$函数的点值容易求出。

经典的可以用杜教筛的函数有：
欧拉函数$\phi$：$\phi \ast 1=id$
莫比乌斯函数$\mu$：$\mu \ast 1=\epsilon$

过程借助递归式$g(1)s(n)=\stackrel{n}{\sum _{i=1}}(f\ast g)(i)-\stackrel{n}{\sum _{i=2}}g(i)s\left(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \right)$

杜教筛的过程是：

1. 欧拉筛计算前$O(n^{\frac{2}{3}})$的$f,s$值
2. 用哈希表存计算好的$s$值来剪枝
3. 用整除分块递归计算$s(n)$

用主定理分析一波，可以得知，杜教筛的时间复杂度为$O\left(n^{\frac{2}{3}}\right)$

具体做法是：

• 筛$\phi$：
  $s(n)=\stackrel{n}{\sum _{i=1}}(\phi \ast 1)(i)-\stackrel{n}{\sum _{i=2}}s\left(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \right)$
  $=\stackrel{n}{\sum _{i=1}}i-\stackrel{n}{\sum _{i=2}}s\left(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \right)$
  前面这个…就需要依靠小学奥数了。

• 筛$\mu$：
  $s(n)=\stackrel{n}{\sum _{i=1}}(\mu \ast 1)(i)-\stackrel{n}{\sum _{i=2}}s\left(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \right)$
  $=\stackrel{n}{\sum _{i=1}}[i=1]-\stackrel{n}{\sum _{i=2}}s\left(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \right)$

#include<iostream>
#include<unordered_map>
#include<vector>
using namespace std;
#define int long long
const int N=2e6;
long long phi[N+5],mu[N+5];
bool vis[N+5];
vector<int> sta;
void Euler() {
	mu[1]=1;
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;i++) {
		if(!vis[i])
			mu[i]=-1,
			phi[i]=i-1,
			sta.push_back(i);
		for(auto&j:sta) {
			int m=i*j;
			if(m>N) break;
			vis[m]=true;
			if(i%j)
				mu[m]=-mu[i],
				phi[m]=phi[i]*phi[j];
			else {
				phi[m]=j*phi[i];
				break;
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=N;i++)
		mu[i]+=mu[i-1],
		phi[i]+=phi[i-1]; 
}
unordered_map<int,pair<long long,long long>> H;
pair<long long,long long> sum(int n) {
	if(n<=N) return {phi[n],mu[n]};
	if(H.count(n)) return H[n];
	pair<long long,long long> ans={(long long)n*(n+1)>>1,1},t;
	for(long long l=2,r;l<=n;l=r+1) 
		r=n/(n/l),
		t=sum(n/l),
		ans.first-=t.first*(r-l+1),
		ans.second-=t.second*(r-l+1);
	return H[n]=ans;
}
signed main() {
	Euler();
//	for(int i=1;i<=100;i++)
//		cout<<mu[i]<<' ';
	int T;
	cin>>T;
	while(T--) {
		int n;
		cin>>n;
		auto x=sum(n);
		cout<<x.first<<' '<<x.second<<endl;
	}
}

更进一步

杜教筛还可以预处理出$\varphi (x)=\phi (x)\cdot I{d}_k(x)$或$\varphi (x)=\mu (x)\cdot I{d}_k(x)$的前缀和。

• 筛$\varphi (x)=\phi (x)\cdot I{d}_k(x)$：
  构造辅助函数$g=I{d}_k$：
  $s(n)=\stackrel{n}{\sum _{i=1}}(\varphi \ast I{d}_k)(i)-\stackrel{n}{\sum _{i=2}}I{d}_k(i)s\left(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \right)$
  $=\stackrel{n}{\sum _{i=1}}\sum _{d|i}\phi (d)d^k{\left(\frac{i}{d}\right)}^k-\stackrel{n}{\sum _{i=2}}{d}^k\cdot s\left(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \right)$
  $=\stackrel{n}{\sum _{i=1}}{i}^k\sum _{d|i}\phi (d)-\stackrel{n}{\sum _{i=2}}{d}^k\cdot s\left(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \right)$
  注意到有$\sum _{d|i}\phi (d)=i$：
  $=\stackrel{n}{\sum _{i=1}}{i}^{k+1}-\stackrel{n}{\sum _{i=2}}{d}^k\cdot s\left(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \right)$
  至于你怎么求出$x$次方数的前缀和…这个就要找奥数老师了。=w=

• 筛$\varphi (x)=\mu (x)\cdot I{d}_k(x)$：
  构造辅助函数$g=I{d}_k$：
  $s(n)=\stackrel{n}{\sum _{i=1}}(\varphi \ast I{d}_k)(i)-\stackrel{n}{\sum _{i=2}}I{d}_k(i)s\left(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \right)$
  $=\stackrel{n}{\sum _{i=1}}\sum _{d|i}\mu (d)d^k{\left(\frac{i}{d}\right)}^k-\stackrel{n}{\sum _{i=2}}{d}^k\cdot s\left(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \right)$
  $=\stackrel{n}{\sum _{i=1}}{i}^k\sum _{d|i}\mu (d)-\stackrel{n}{\sum _{i=2}}{d}^k\cdot s\left(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \right)$
  注意到有$\sum _{d|i}\mu (d)=[i=1]$：
  $=\stackrel{n}{\sum _{i=1}}{i}^k[i=1]-\stackrel{n}{\sum _{i=2}}{d}^k\cdot s\left(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \right)$
  $=1-\stackrel{n}{\sum _{i=2}}{d}^k\cdot s\left(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \right)$

后记

于是皆大欢喜。