图形学学习笔记5——向量矩阵运算_矩阵矢量积运算规则-优快云博客

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本文详细介绍了向量和矩阵的基本运算原理，包括数量积、向量积、混合积等向量运算及其性质，以及矩阵乘法、逆矩阵、行列式的计算方法，并探讨了这些运算法则的应用。

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向量矩阵运算

向量

数量积

定义：

a ⃗ \cdot b ⃗ = | a ⃗ | | b ⃗ | c o s < a ⃗, b ⃗ >

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| cos<\vec{a},\vec{b}>$
基本定理：

a ⃗ \cdot b ⃗ a ⃗ \cdot (b ⃗ + c ⃗) λ a ⃗ \cdot b ⃗ a ⃗ \cdot b ⃗ \cdot c ⃗ = b ⃗ \cdot a ⃗ = a ⃗ \cdot b ⃗ + a ⃗ \cdot c ⃗ = a ⃗ \cdot λ b ⃗ \neq a ⃗ \cdot (b ⃗ \cdot c ⃗) (交 换 律) (分 配 律) (数 乘) (结 合 律 一 般 不 成 立)

$\begin{align} \vec{a} \cdot \vec{b} &= \vec{b} \cdot \vec{a} &(交换律)\\ \vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) &= \vec{a}\cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} &(分配律)\\ \lambda \vec{a} \cdot \vec{b} &= \vec{a} \cdot \lambda \vec{b} &(数乘)\\ \vec{a} \cdot \vec{b} \cdot \vec{c} &\neq \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c}) &(结合律一般不成立)\\ \end{align}$

向量积

定义：右手系，伸开右手, 使大拇指与四指垂直并保持在一个平面内, 四指指向 $\vec{a}$ 的方向. 然后旋转四指到 $\vec{b}$ 的方向，拇指指向的方向为向量积方向。

| a ⃗ \times b ⃗ | = | a ⃗ | | b ⃗ | s i n < a ⃗, b ⃗ >

$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| sin<\vec{a},\vec{b}>$
基本定理：

a ⃗ \times b ⃗ a ⃗ \times (b ⃗ + c ⃗) λ a ⃗ \times b ⃗ a ⃗ \times b ⃗ \times c ⃗ = - b ⃗ \times a ⃗ = a ⃗ \times b ⃗ + a ⃗ \times c ⃗ = a ⃗ \times λ b ⃗ \neq a ⃗ \times (b ⃗ \times c ⃗) (交 换 律) (分 配 律) (数 乘) (结 合 律 一 般 不 成 立)

$\begin{align} \vec{a} \times \vec{b} &= -\vec{b}\times\vec{a} &(交换律)\\ \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) &= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} &(分配律)\\ \lambda \vec{a} \times \vec{b} &= \vec{a} \times \lambda\vec{b} &(数乘)\\ \vec{a} \times \vec{b} \times \vec{c} &\neq \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) &(结合律一般不成立) \\ \end{align}$

混合积

定义: 混合积值的绝对值是三个向量代表的六面体体积大小

(a ⃗, b ⃗, c ⃗) = a ⃗ \times b ⃗ \cdot c ⃗

$(\vec{a},\vec{b},\vec{c}) = \vec{a}\times\vec{b}\cdot\vec{c}$
基本定理：

(a ⃗, b ⃗, c ⃗) a ⃗ \times b ⃗ \times c ⃗ (a ⃗ \times b ⃗) \cdot (c ⃗ \times d ⃗) (a ⃗ \times b ⃗) 2 = (b ⃗, c ⃗, a ⃗) = (c ⃗, a ⃗, b ⃗) = (a ⃗ \cdot c ⃗) b ⃗ - (b ⃗ \cdot c ⃗) a ⃗ = (a ⃗ \cdot c ⃗) (b ⃗ \cdot d ⃗) - (a ⃗ \cdot d ⃗) (b ⃗ \cdot c ⃗) = a ⃗ 2 b ⃗ 2 - (a ⃗ \cdot b ⃗) 2

$\begin{align} (\vec{a},\vec{b},\vec{c}) &= (\vec{b},\vec{c},\vec{a}) = (\vec{c},\vec{a},\vec{b}) \\ \vec{a}\times\vec{b}\times\vec{c} &= (\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b} - (\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a} \\ (\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{c}\times \vec{d}) &= (\vec{a}\cdot\vec{c})(\vec{b}\cdot\vec{d}) - (\vec{a}\cdot\vec{d})(\vec{b}\cdot\vec{c}) \\ (\vec{a}\times\vec{b})^2 &= \vec{a}^2\vec{b}^2 - (\vec{a}\cdot\vec{b})^2 \\ \end{align}$

矩阵

基本定理：

A B A (B + C) (A B) C \neq B A = A B + A C = A (B C) (交 换 律 一 般 不 成 立) (分 配 律) (结 合 律)

$\begin{align} AB &\neq BA &(交换律一般不成立)\\ A(B+C) &= AB+AC &(分配律)\\ (AB)C &= A(BC) &(结合律)\\ \end{align}$
行列式 (其中

Ai,j $A_{i,j}$ 是代数余子式)：

d e t (A) = \sum i, j n a i, j A i, j d e t (A B) = d e t (A) d e t (B)

$det(A)=\sum_{i,j}^{n}{a_{i,j}A_{i,j}}\\ det(AB)=det(A)det(B)$
矩阵的逆：

A - 1 = 1 d e t ( A ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ A 11 A 21 ⋮ A n 1 A 12 A 22 ⋮ A n 2 \dots \dots ⋱ \dots A 1 n A 2 n ⋮ A n n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

$A^{-1}=\frac{1}{det(A)} \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn} \\ \end{bmatrix}$