整数划分(三)

最新推荐文章于 2025-07-15 14:11:47 发布

wanghandou

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整数划分(三)

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难度： 5

描述

整数划分是一个经典的问题。请写一个程序,完成以下要求。

输入

每组输入是两个整数n和k。(1 <= n <= 50, 1 <= k <= n)

输出

对于输入的 n,k;
第一行：将n划分成若干正整数之和的划分数。
第二行：将n划分成k个正整数之和的划分数。
第三行：将n划分成最大数不超过k的划分数。
第四行：将n划分成若干个奇正整数之和的划分数。
第五行：将n划分成若干不同整数之和的划分数。
第六行：打印一个空行

样例输入

5 2

样例输出

提示

样例输出提示:
1.将5划分成若干正整数之和的划分为： 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1
2.将5划分成2个正整数之和的划分为： 3+2, 4+1
3.将5划分成最大数不超过2的划分为： 1+1+1+1+1, 1+1+1+2, 1+2+2
4.将5划分成若干奇正整数之和的划分为： 5, 1+1+3, 1+1+1+1+1
5.将5划分成若干不同整数之和的划分为： 5, 1+4, 2+3

本题使用动态规划（Dynamic Programming）方法解决

一求将n划分为若干正整数之和的划分数

1.若划分的多个整数可以相同

　　设dp[i][j]为将i划分为不大于j的划分数

　　(1) 当i<j时，i不能划分为大于i的数，所以dp[i][j]=dp[i][i]；

　　(2) 当i>j时，可以根据划分中是否含有j分为两种情况。若划分中含有j，划分方案数为dp[i-j][j]；若划分数中不含j，相当于将i划分为不大于j-1的划分数，为dp[i][j-1]。所以当i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1]；

　　(3) 当i=j时，若划分中含有j只有一种情况，若划分中不含j相当于将i划分为不大于j-1的划分数。此时dp[i][j]=1+dp[i][j-1]。

dp[n][n]可以解决问题1，dp[n][k]表示将n划分为最大数不超过k的划分数，可以解决问题3。

2.若划分的正整数必须不同

　　设dp[i][j]为将i划分为不超过j的不同整数的划分数

　　(1) 当i<j时，i不能划分为大于i的数，所以dp[i][j]=dp[i][i]；

　　(2) 当i>j时，可以根据划分中是否含有j分为两种情况。若划分中含有j，则其余的划分中最大只能是j-1，方案数为dp[i-j][j-1]；若划分中不含j，相当于将i划分为不大于j-1的划分数，为dp[i][j-1]。所以当i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j-1]+dp[i][j-1]；

　　(3) 当i=j时，若划分中含有j只有一种情况，若划分中不含j相当于将i划分为不大于j-1的划分数。此时dp[i][j]=1+dp[i][j-1]

dp[n][n]表示将n划分为不同整数的划分数，可以解决问题5

二将n划分为k个整数的划分数

/*将n划分成k个数的划分法：

　　　　dp[n][k]= dp[n-k][k]+ dp[n-1][k-1];

   　　方法可以分为两类：
   　　　　第一类: n 份中不包含 1 的分法，为保证每份都 >= 2，可以先拿出 k 个 1 分
   　　到每一份，然后再把剩下的 n- k 分成 k 份即可，分法有: dp[n-k][k]
  　　　　第二类: n 份中至少有一份为 1 的分法，可以先那出一个 1 作为单独的1份，剩
   　　下的 n- 1 再分成 k- 1 份即可，分法有：dp[n-1][k-1]*/

设dp[i][j]为将i划分为j个整数的划分数。

　　(1) i<j为不可能出现的情况，dp[i][j]=0；

　　(2) 若i=j，有一种情况：i可以划分为i个1之和，dp[i][j]=1；

　　(3) 若i>j，可以根据划分数中是否含有1分为两类：若划分数中含有1，可以使用“截边法”将j个划分分别截去一个1，把问题转化为i-j的j-1个划分数，为dp[i-j][j-1]；若划分中不包含1，使用“截边法”将j个划分数的最下面一个数截去，将为题转化为求i-j的j个划分数，为dp[i-j][j]。所以i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j-1]+dp[i-j][j]。

dp[n][k]为将n划分为k个整数的划分数，可解决问题2。

三将n划分为若干正奇数之和的划分数

设f[i][j]为将i划分为j个奇数之和的划分数，g[i][j]为将i划分为j个偶数之和的划分数。

使用截边法，将g[i][j]的j个划分都去掉1，可以得到f[i-j][j]，所以

g[i][j] = f[i-j][j]。

f[i][j]中有包含1的划分方案和不包含1的划分方案。对于包含1的划分方案，可以将1的划分除去，转化为“将i-1划分为j-1个奇数之和的划分数”，即f[i-1][j-1]；对于不包含1的划分方案，可以使用截边法对j个划分每一个都去掉一个1，转化为“将i-j划分为j个偶数之和的划分数”，即g[i-j][j]。

所以f[i][j]=f[i-1][j-1]+g[i-j][j]。

f[n][0]+f[n][1]+……+f[n][n]为将n划分为若干奇数的划分数，为问题4的答案。

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
int sum[1000][1000],sum1[1000][1000],sum2[1000][1000],sum3[1000][1000],sum4[1000][1000];
int g[1000][1000];
int main()
{
    int n,k;
    while(scanf("%d%d",&n,&k)!=-1)
    {
        for(int i=0; i<=n; i++)
        {
            for(int j=0; j<=n; j++)
            {
                sum[i][j]=0;
                sum1[i][j]=0;
                sum2[i][j]=0;
                sum3[i][j]=0;
                sum4[i][j]=0;
                g[i][j]=0;
            }
        }
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            for(int j=1; j<=n; j++)
            {
                if(i<j)
                {
                    sum[i][j]=sum[i][i];
                    sum1[i][j]=0;
                    sum4[i][j]=sum4[i][i];
                }
                else if(i==j)
                {
                    sum[i][j]=1+sum[i][j-1];
                    sum1[i][j]=1;
                    sum4[i][j]=1+sum4[i][j-1];
                }
                else
                {
                    sum[i][j]=sum[i-j][j]+sum[i][j-1];
                    sum1[i][j]=sum1[i-1][j-1]+sum1[i-j][j];
                    sum4[i][j]=sum4[i-j][j-1]+sum4[i][j-1];
                }
            }
        }
        sum3[0][0]=1,g[0][0]=1;
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            for(int j=1; j<=n; j++)
            {
                g[i][j]=sum3[i-j][j];
                sum3[i][j]=sum3[i-1][j-1]+g[i-j][j];
            }
        }
        int ha=0;
        for(int i=0;i<=n;i++)
        {
            ha+=sum3[n][i];
        }
        printf("%d\n%d\n%d\n%d\n%d\n",sum[n][n],sum1[n][k],sum[n][k],ha,sum4[n][n]);
    }
}

参考: [1] http://blog.youkuaiyun.com/a83610312/article/details/12685653

[2] http://www.cnblogs.com/jackge/p/3163835.html