LeetCode学习笔记——初学动态规划

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今天，开始接触到动态规划问题，现在我对动态规划还没有一个完整的认识，更不用说掌握了，

目前我对动态规划的理解是，

在递归的过程中，我们可能会进行对一个数进行重复递归，这样子就导致时间复杂度呈指数增长，

比如：

在斐波那契数列中，

我们知道 fib(n) = {1, 1, 2, 3 , 5, 8，……}， 这里举个例子，假如我们还不知道 fib(5) 是多少，

如果我们要算 fib(5) ，按照我们递归的思维，我们会这样做:

public int fib(int n) {
	if(n == 1 || n == 2)
		return 1;
	return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}

内在流程是这样子的：

其实在运算的过程中，我们重复运算了 fib(3) ，

这时候如果我们想改进算法的话，是不是可以把 fib(3) 的值存起来，

当下面某一次递归到 fib(3) 的时候，我们就可以直接用了？

改进上面那个算法后，长这个样子：

public int fib(int n) {
    //判断特殊值
    if(n == 1 || n == 2)
        return 1;
    //申请一个数组来保存算过的值
    int []dp = new int[n + 1]; 
    //初始我们前面的值，如果这个值没有初始化是没有规律可行的
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 1;
    for(int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[n - 1] + dp[n - 2];
    }
    return dp[n];
}

这个就是我初步认识的动态规划。

在leetcode里面有几道类似这样的题，哦不，不是类似，方法感觉就是一模一样的（狗头报命）

一. 青蛙跳台阶问题

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入：n = 2
输出：2

示例 2：

输入：n = 7
输出：21

解题思路

这道题可以分为两part，

第一先是考虑如何求出跳上n级台阶有多少种跳法，

然后再考虑对结果怎么取模；

这道题有个隐藏的条件没有给出来，就是 n == 0 的时候，结果应该是等于1的，

别问我怎么知道的（都是泪）。

跳台阶，有两种方法，一种跳一级，一种跳两级，

当 n == 1的时候，只有一种跳法，

当 n == 2 的时候，有两种跳法

• 每次都跳一级，跳两次

• 一次跳两级

这时候我们来看看 n == 3，

n为3的时候，是可以分为子问题进行考虑的，

比如，青蛙是从哪一级跳到第三级的，

有可能是从第一级，直接跳两级，

有可能是从第二级，直接跳一级，

什么？有可能从第一级，每一次跳一级？

这种情况其实就是在第二级跳到第三级。

那青蛙是怎么跳到第二级或者第一级，我们已经讨论过了，

问题拆解完毕！

这样子，我们就知道，跳到 n 级，其实是跟怎么跳到 n - 1和 n - 2有关，

那这就是递归的思想，

f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)

这就跟上面的斐波那契数列一模一样了。

利用动态规划优化一下，而且这道题用动态规划才能AC，因为递归进去，会超时。

第二步，是需要我们将答案取模，

我一开始这样做的：

return dp[n] % 1000000007;

结果打脸，因为如果针对结果取模的话，数组里面除的数就会超出范围了。

代码

class Solution {
    public int numWays(int n) {
        //判断特殊值
        if(n == 0 || n == 1)
            return 1;
        //申请一个数组记录已经计算后对应的值
        int []dp = new int[n + 1];
        //初始值，n == 2情况下的值必须作为初始值
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for(int i = 2; i <= n; i++) {
            //对结果进行取模后再存入数组
            dp[i] = (dp[i - 1] + dp[i -2]) % 1000000007;
        }
        return dp[n] ;
    }
}

二. 爬楼梯问题

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

**注意：**给定 n 是一个正整数。

示例 1：

输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶
2.  2 阶

示例 2：

输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2.  1 阶 + 2 阶
3.  2 阶 + 1 阶

解题思路

这道题和青蛙的题目是一样的，只不过人换成了青蛙，台阶换成了楼梯

直接上代码

代码

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if(n == 0 || n == 1)
            return 1;
        int []dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for(int i = 2; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i -2];
        }
        return dp[n] ;
    }   
}