算法训练 打印下述图形

算法训练 4-1打印下述图形
问题描述
  使用循环结构打印下述图形,打印行数n由用户输入。打印空格时使用"%s"格式,向printf函数传递只包含一个或多个空格的字符串" ",下同。
样例输入
一个满足题目要求的输入范例。
例:5
样例输出
与上面的样例输入对应的输出。

例:  *

***

      *****

    *******

  *********



数据规模和约定
  输入数据中每一个数的范围。
  例:0<n<20。


#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        for(int j = 0; j < n-i-1; j++) {
            cout << " ";
        }
        for(int j = 0; j < 2*i+1; j++) {
            cout << "*";
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

### CAD 图形缩放算法的实现与原理 在CAD制图中,图形缩放是一种常见的操作需求。为了实现这一功能,通常会采用基于线性代数和几何变换的方法[^1]。具体来说,图形缩放在数学上可以通过矩阵乘法来表示。 #### 1. 缩放的基本概念 缩放是对图形对象按照一定比因子进行放大或缩小的过程。该过程涉及两个关键参数:**缩放中心点 (Sx, Sy)** 和 **缩放比因子 (kx, ky)**。其中: - Sx 和 Sy 表示缩放的参考点。 - kx 是沿 X 轴方向的比因子。 - ky 是沿 Y 轴方向的比因子。 如果仅需均匀缩放,则令 \( k_x = k_y \)[^3]。 #### 2. 数学模型 对于平面内的任意一点 P(x, y),经过缩放后的坐标 \( P'(x', y') \) 可由下述公式计算得出: \[ x' = S_x + k_x \cdot (x - S_x) \] \[ y' = S_y + k_y \cdot (y - S_y) \] 这里,\( S_x, S_y \) 是缩放中心点的坐标;\( k_x, k_y \) 则分别代表 X 方向和 Y 方向上的缩放倍率[^3]。 #### 3. 矩阵形式表达 利用齐次坐标的表示方式,上述缩放变换可以用矩阵形式写成如下结构: \[ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_x & 0 & T_x \\ 0 & k_y & T_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} \] 其中, - \( T_x = S_x(1-k_x) \), - \( T_y = S_y(1-k_y) \). 这种矩阵形式便于程序化实现,并且能够方便地与其他几何变换(如旋转、平移)相结合[^3]。 #### 4. 实现代码示 以下是使用 Python 结合 NumPy 库实现的一个简单的二维图形缩放示: ```python import numpy as np def scale_point(point, center, factor): """ 对给定点执行缩放操作 :param point: 待缩放点 [x, y] :param center: 缩放中心点 [cx, cy] :param factor: 缩放因子 [kx, ky] :return: 缩放后的新点 [x', y'] """ translation_matrix = np.array([ [factor[0], 0, center[0]*(1-factor[0])], [0, factor[1],center[1]*(1-factor[1])], [0, 0, 1] ]) homogeneous_point = np.array([point[0], point[1], 1]) scaled_homogeneous = np.dot(translation_matrix, homogeneous_point) return scaled_homogeneous[:2] # 测试用 original_point = [2, 3] scaling_center = [1, 1] scaling_factors = [2, 1.5] scaled_point = scale_point(original_point, scaling_center, scaling_factors) print(f"Scaled Point: {scaled_point}") ``` 此代码片段展示了如何通过定义缩放中心以及相应的缩放因子完成单个点的缩放操作[^3]。 #### 5. 注意事项 当实施 CAD 中的图形缩放时需要注意以下几点: - 如果不希望改变原图的位置关系,在设置缩放中心时应选取合适的参照点; - 非匀称缩放 (\( k_x \neq k_y \)) 将破坏原始图形的比感,可能影响美观度; - 复杂实体(比如多边形或多段曲线)需要对其所有顶点逐一应用相同的缩放逻辑[^1]。
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