动态规划解题总结

一、动态规划是什么

动态规划（Dynamic Programming，DP）是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的过程。20世纪50年代初，美国数学家贝尔曼（R.Bellman）等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，从而创立了动态规划。动态规划的应用极其广泛，包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域，并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了显著的效果。

动态规划(简称DP)的思想是把一个大的问题进行拆分，细分成一个个小的子问题，且能够从这些小的子问题的解当中推导出原问题的解。

动态规划的基本性质是：

• 最优子结构性质

最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。（一个问题的最优解包含其子问题的最优解）

• 无后效性

将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又称为无后效性。

• 子问题的重叠性（重叠子问题）

动态规划算法的关键在于解决冗余，这是动态规划算法的根本目的。动态规划实质上是一种以空间换时间的技术，它在实现的过程中，不得不存储产生过程中的各种状态，所以它的空间复杂度要大于其他的算法。选择动态规划算法是因为动态规划算法在空间上可以承受，而搜索算法在时间上却无法承受，所以我们舍空间而取时间。

在求解的过程当中，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题会被重复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只计算一次，然后将其计算结果保存在一个表格中，当再次需要计算已经计算过的子问题时，只是在表格中简单地查看一下结果，从而获得较高的解题效率。

二、解决动态规划问题有什么技巧？

刷题刷多了就会发现，算法技巧就那几个套路，我们后续的动态规划系列章节，都在使用本文的解题框架思维，如果你心里有数，就会轻松很多。所以本文放在第一章，来扒一扒动态规划的裤子，形成一套解决这类问题的思维框架，希望能够成为解决动态规划问题的一部指导方针。本文就来讲解该算法的基本套路框架，下面上干货。

首先，动态规划问题的一般形式就是求最值。动态规划其实是运筹学的一种最优化方法，只不过在计算机问题上应用比较多，比如说让你求最长递增子序列呀，最小编辑距离呀等等。

既然是要求最值，核心问题是什么呢？求解动态规划的核心问题是穷举。因为要求最值，肯定要把所有可行的答案穷举出来，然后在其中找最值呗。

动态规划这么简单，就是穷举就完事了？我看到的动态规划问题都很难啊！

首先，虽然动态规划的核心思想就是穷举求最值，但是问题可以千变万化，穷举所有可行解其实并不是一件容易的事，需要你熟练掌握递归思维，只有列出正确的「状态转移方程」，才能正确地穷举。而且，你需要判断算法问题是否具备「最优子结构」，是否能够通过子问题的最值得到原问题的最值。另外，动态规划问题存在「重叠子问题」，如果暴力穷举的话效率会很低，所以需要你使用「备忘录」或者「DP table」来优化穷举过程，避免不必要的计算。

以上提到的重叠子问题、最优子结构、状态转移方程就是动态规划三要素。具体什么意思等会会举例详解，但是在实际的算法问题中，写出状态转移方程是最困难的，这也就是为什么很多朋友觉得动态规划问题困难的原因，我来提供我总结的一个思维框架，辅助你思考状态转移方程：

明确 base case -> 明确「状态」-> 明确「选择」 -> 定义 dp 数组/函数的含义。

再明确点就是：

• 第一步要明确两点，「状态」和「选择」
• 第二步根据「状态」明确 dp 数组的定义，并且确定base case
• 第三步，根据「选择」思考状态转移的逻辑（明确状态转移方程）

# 自顶向下递归的动态规划
def dp(状态1, 状态2, ...):
    for 选择 in 所有可能的选择:
        # 此时的状态已经因为做了选择而改变
        result = 求最值(result, dp(状态1, 状态2, ...))
    return result

# 自底向上迭代的动态规划
# 初始化 base case
dp[0][0][...] = base case
# 进行状态转移
for 状态1 in 状态1的所有取值：
    for 状态2 in 状态2的所有取值：
        for ...
            dp[状态1][状态2][...] = 求最值(选择1，选择2...)

三、例子

5. 最长回文子串

class Solution {
    public String longestPalindrome(String s) {
        int length = s.length();
        // 长度小于2，直接返回
        if (length < 2) {
            return s;
        }

        int maxLength = 1;
        int begin = 0;
        // 将字符串转为char数组，方便遍历
        char[] cs = s.toCharArray(); 
         // dp函数，i行j列，含义是从i开始到j范围的字串是否是回文子串
        boolean[][] dp = new boolean[length][length];

        // 初始化dp,dp是一个矩阵，在这里对角线上代表的是同一个位置的字符
        for (int i = 0; i < length; i++) {
            dp[i][i] = true;
        }

        // 遍历字符数据，这个矩阵可以理解为一个上三角矩阵，因为上三角矩阵就可以把字符数组遍历完
        // 遍历上三角矩阵，先列(j)后行(i), i < j即可，因为上面已经把对角线的位置填充好了
        for (int j = 1; j < length; j++) {
            for (int i = 0; i < j; i++) {
                // 循环里，判断从i到j是否是回文子串
                if (cs[i] != cs[j]) {
                    // 首尾不相等时，必不是回文串
                    dp[i][j] = false;
                } else {
                    // 首尾相等时，有2种情况
                    // 情况1：s[i...j]长度不超过3，不用检查必为回文串
                    // 情况2：s[i...j]长度大于3，由s[i+1...j-1]来判断,因为对于一个子串而言，如果它是回文串，并且长度大于 2，那么将它首尾的两个字母去除之后，它仍然是个回文串。也就是说，只有s[i+1:j−1] 是回文串，并且 s 的第 i 和 j 个字母相同时，s[i:j] 才会是回文串。
                    if (j - i + 1 <= 3) {
                        dp[i][j] = true;
                    } else {
                        // 状态转移方程
                        dp[i][j] = dp[i+1][j-1];
                    }
                }

                // s[i:j]是回文子串并且长度大于已有的最大长度,更新maxLength和begin
                if (dp[i][j] && j - i + 1 > maxLength) {
                    maxLength = j - i + 1;
                    begin = i;
                }
            }
        }

        return s.substring(begin, begin + maxLength);
    }
}