欧拉筛(线性筛)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int cnt;
const int N = 1e7;
const int M = 1e8+5;
bool st[M];
int primes_Num[N];
void primes(){
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!st[i]){
			primes_Num[cnt++]=i;
		}
		for(int j=0;primes_Num[j]*i<=n&&j<cnt;j++){
			st[primes_Num[j]*i]=true;
			if(i%primes_Num[j]==0) break;
		}
	}
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
	int q;
	cin>>n>>q;
	primes();
	while(q--){
		int k;
		cin>>k;
		cout<<primes_Num[k-1]<<endl;
	}
	return 0;
} 

在探索智慧旅游的新纪元中,一个集科技、创新与服务于一体的整体解决方案正悄然改变着我们的旅行方式。智慧旅游,作为智慧城市的重要分支,旨在通过新一代信息技术,如云计算、大数据、物联网等,为游客、旅游企业及政府部门提供无缝对接、高效互动的旅游体验与管理模式。这一方案不仅重新定义了旅游行业的服务标准,更开启了旅游业数字化转型的新篇章。 智慧旅游的核心在于“以人为本”,它不仅仅关注技术的革新,更注重游客体验的提升。从游前的行程规划、信息查询,到游中的智能导航、个性化导览,再到游后的心情分享、服务评价,智慧旅游通过构建“一云多屏”的服务平台,让游客在旅游的全过程中都能享受到便捷、个性化的服务。例如,游客可以通过手机APP轻松定制专属行程,利用智能语音导览深入了解景点背后的故事,甚至通过三维GIS地图实现虚拟漫游,提前感受目的地的魅力。这些创新服务不仅增强了游客的参与感和满意度,也让旅游变得更加智能化、趣味化。 此外,智慧旅游还为旅游企业和政府部门带来了前所未有的管理变革。通过大数据分析,旅游企业能够精准把握市场动态,实现旅游产品的精准营销和个性化推荐,从而提升市场竞争力。而政府部门则能利用智慧旅游平台实现对旅游资源的科学规划和精细管理,提高监管效率和质量。例如,通过实时监控和数据分析,政府可以迅速应对旅游高峰期的客流压力,有效预防景区超载,保障游客安全。同时,智慧旅游还促进了跨行业、跨部门的数据共享与协同合作,为旅游业的可持续发展奠定了坚实基础。总之,智慧旅游以其独特的魅力和无限潜力,正引领着旅游业迈向一个更加智慧、便捷、高效的新时代。
内容概要:本文详细介绍了大模型的发展现状与未来趋势,尤其聚焦于DeepSeek这一创新应用。文章首先回顾了人工智能的定义、分类及其发展历程,指出从摩尔定律到知识密度提升的转变,强调了大模型知识密度的重要性。随后,文章深入探讨了DeepSeek的发展路径及其核心价值,包括其推理模型、思维链技术的应用及局限性。此外,文章展示了DeepSeek在多个行业的应用场景,如智能客服、医疗、金融等,并分析了DeepSeek如何赋能个人发展,具体体现在公文写作、文档处理、知识搜索、论文写作等方面。最后,文章展望了大模型的发展趋势,如通用大模型与垂域大模型的协同发展,以及本地部署小模型成为主流应用渠道的趋势。 适合人群:对人工智能和大模型技术感兴趣的从业者、研究人员及希望利用DeepSeek提升工作效率的个人用户。 使用场景及目标:①了解大模型技术的最新进展和发展趋势;②掌握DeepSeek在不同领域的具体应用场景和操作方法;③学习如何通过DeepSeek提升个人在公文写作、文档处理、知识搜索、论文写作等方面的工作效率;④探索大模型在特定行业的应用潜力,如医疗、金融等领域。 其他说明:本文不仅提供了理论知识,还结合实际案例,详细介绍了DeepSeek在各个场景下的应用方式,帮助读者更好地理解和应用大模型技术。同时,文章也指出了当前大模型技术面临的挑战,如模型的局限性和数据安全问题,鼓励读者关注技术的持续改进和发展。
<think>好的,我现在要解决的问题是用户关于线性筛法和欧拉法的区别及实现的疑问。首先,我需要回忆一下这两种法的基本概念和原理,然后比较它们的异同点,接着看看它们的实现方式,最后可能需要分析各自的优缺点和应用场景。 首先,线性筛法和欧拉法都是用来素数的算法,但用户提到可能存在区别。根据已有的引用资料,比如引用[3]提到线性筛法也叫欧拉,是在埃氏法的基础上优化而来,时间复杂度为O(n)。但用户的问题中提到两者的比较,这说明可能存在一些混淆或者细节上的不同。 根据引用[2]和[3],埃氏法的问题在于会重复标记合数,而线性筛法则通过确保每个合数只被其最小质因数除来避免重复,从而将时间复杂度降为线性。引用[4]则提到欧拉法与线性筛法类似,核心思想是确保每个合数只被最小质因数除一次。看起来这里可能存在名称上的混淆,即线性筛法和欧拉法可能指的是同一种算法?或者是欧拉法是线性筛法的一种实现,同时还能计算欧拉函数? 需要进一步确认:是否在某些资料中,线性筛法和欧拉法被视为同一种算法,而在其他资料中,欧拉法特指结合了计算欧拉函数的法?或者可能用户提到的欧拉法其实是线性筛法的一个别称? 查看引用[3]的标题:“狂热算法篇”提到埃氏线性筛欧拉),这里括号里说明线性筛欧拉。引用[2]中提到欧拉法代码,而引用[4]则讨论了线性筛法与欧拉函数的关系,可能欧拉法在实现线性筛的同时,还能计算每个数的欧拉函数值? 因此可能的区别在于,线性筛法是一种通用的算法,用于高效素数,而欧拉法可能是在线性筛法的基础上,进一步用于计算欧拉函数,或者两者是同一算法的不同名称。需要更仔细地分析引用内容。 引用[1]中的总结提到:欧拉法与线性筛法类似,核心思想是确保每个合数只被其最小质因数除一次。这可能暗示两者是同一算法,只是名称不同。但引用[4]的标题是“线性筛法 与 欧拉函数”,其中讨论了用线性筛法计算欧拉函数的方法。因此可能欧拉法是指在线性筛法的过程中同时计算欧拉函数,而普通的线性筛法仅用于素数? 或者可能,欧拉法和线性筛法其实是同一算法的两种不同称呼,不同来源可能有不同的命名习惯。例如,有些资料称其为线性筛法,有些则称欧拉法,而它们的基本原理相同。这种情况下,用户的问题可能源于对名称的混淆,而实际算法并无区别。 但用户的问题明确问的是两者的区别,所以必须找到它们的不同点。根据现有引用,可能需要指出,欧拉法是在线性筛法的基础上,进一步扩展用于计算欧拉函数,因此它们的实现可能有所不同,特别是在处理数论函数时。 例如,引用[4]中的代码展示了如何用线性筛法来计算欧拉函数,这可能就是欧拉法的一个应用。也就是说,线性筛法是基础算法,而欧拉法可能特指在线性筛法过程中同时计算欧拉函数或其他数论函数的方法。因此,它们的核心选机制相同,但欧拉法在实现时加入了额外的步骤来计算欧拉函数。 总结可能的区别: 1. 核心算法相同,都是线性时间复杂度,确保每个合数被最小质因数除一次。 2. 欧拉法可能特指在法的过程中计算欧拉函数,而线性筛法一般指仅素数。 3. 因此,实现上,欧拉法在代码中会有额外的变量或步骤来处理欧拉函数的计算,而线性筛法则仅维护素数列表和最小质因数信息。 接下来需要确认这些信息是否正确。例如,查看引用[4]中的代码,确实是在线性筛法的框架内,增加了计算欧拉函数的部分,其中phi数组保存每个数的欧拉函数值,处理质数、合数时分别计算phi值。而普通的线性筛法可能不需要这些额外的步骤。 因此,两者的区别可能在于功能扩展:线性筛法用于高效素数,而欧拉法则在同样的法过程中计算欧拉函数,或者在处理时有不同的操作,但法机制本身是相同的。 因此,回答用户的问题时,需要说明: - 线性筛法和欧拉法通常指的是同一种法机制,确保每个合数被最小质因数除,时间复杂度O(n)。 - 但在某些上下文中,欧拉法可能特指结合了欧拉函数计算的线性筛法实现,即在素数的同时计算每个数的欧拉函数值。 - 因此,区别主要在于是否扩展了功能,而基础法过程是一致的。 接下来需要给出两者的实现示例,比较它们的代码差异,展示欧拉法如何计算欧拉函数,而线性筛法仅素数。 例如,线性筛法的代码可能如下: ```python def linear_sieve(n): is_prime = [True] * (n+1) primes = [] for i in range(2, n+1): if is_prime[i]: primes.append(i) for p in primes: if i * p > n: break is_prime[i*p] = False if i % p == 0: break return primes ``` 而欧拉法在计算欧拉函数的实现可能如下: ```python def euler_sieve(n): is_prime = [True] * (n+1) primes = [] phi = [0] * (n+1) phi[1] = 1 for i in range(2, n+1): if is_prime[i]: primes.append(i) phi[i] = i - 1 for p in primes: if i * p > n: break is_prime[i*p] = False if i % p == 0: phi[i*p] = phi[i] * p break else: phi[i*p] = phi[i] * (p - 1) return primes, phi ``` 这样,欧拉法在过程中维护了phi数组,用于存储每个数的欧拉函数值。这说明欧拉法不仅素数,还能计算欧拉函数,而线性筛法则专注于素数选。因此,两者的区别在于功能扩展,而非基础算法机制。 综上,用户的问题需要明确:线性筛法和欧拉法在核心机制上是相同的,但欧拉法可能用于指代那些在的过程中计算数论函数(如欧拉函数)的实现。因此,它们的区别在于应用范围和功能,而非基础算法步骤的不同。</think>### 线性筛法 vs 欧拉法:算法实现与比较 #### 1. 核心思想与时间复杂度 - **线性筛法**和**欧拉法**的核心思想相同:确保每个合数仅被其**最小质因数**除一次,时间复杂度均为 $O(n)$[^1][^3]。 - 两者的区别主要体现在**功能扩展**上: - 线性筛法专注于**高效素数**。 - 欧拉法则在素数的同时,可**计算数论函数**(如欧拉函数 $\varphi(n)$)[^4]。 --- #### 2. 算法实现对比 ##### 2.1 线性筛法(仅素数) ```python def linear_sieve(n): is_prime = [True] * (n+1) primes = [] # 存储素数 for i in range(2, n+1): if is_prime[i]: primes.append(i) # 用当前数i与已出的素数相乘标记合数 for p in primes: if i * p > n: break is_prime[i * p] = False if i % p == 0: # 保证最小质因数除 break return primes ``` - **关键步骤**:当 `i % p == 0` 时终止内层循环,避免重复标记[^2]。 ##### 2.2 欧拉法(同时计算欧拉函数) ```python def euler_sieve(n): is_prime = [True] * (n+1) primes = [] # 存储素数 phi = [0] * (n+1) # 存储欧拉函数值 phi[1] = 1 for i in range(2, n+1): if is_prime[i]: primes.append(i) phi[i] = i - 1 # 素数欧拉函数值为i-1 # 标记合数并更新phi值 for p in primes: if i * p > n: break is_prime[i * p] = False if i % p == 0: phi[i * p] = phi[i] * p # i与p不互质时的公式 break else: phi[i * p] = phi[i] * (p - 1) # i与p互质时的公式 return primes, phi ``` - **关键扩展**:根据 $i$ 与质数 $p$ 的关系,利用递推公式计算 $\varphi(i \cdot p)$[^4]。 --- #### 3. 性能与应用场景 | **特性** | 线性筛法 | 欧拉法 | |----------------|------------------------|--------------------------| | **主要功能** | 素数 | 素数 + 计算欧拉函数 | | **空间复杂度** | $O(n)$ | $O(n)$(需额外存储phi数组)| | **适用场景** | 仅需素数列表 | 需同时处理数论函数问题 | --- #### 4. 关键区别总结 1. **功能差异**: - 线性筛法仅生成素数。 - 欧拉法可在线性筛法框架内扩展计算**欧拉函数**或其他数论函数。 2. **实现复杂度**: - 欧拉法需维护额外变量(如 `phi` 数组),逻辑略复杂。 ---
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