DP之背包学习记录（二）

最新推荐文章于 2025-09-23 08:27:31 发布

原创最新推荐文章于 2025-09-23 08:27:31 发布 · 390 阅读

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今天我们来学习完全背包，完全背包可以简化成01背包，先说下问题描述

题目
有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

完全背包是每种都有无限可用，但是我们会发现，一种物品最大的个数不可以超过V/c[i]，因为容量有限，我们假设01背包的思路，得出状态转移方程

dp[i][v] = max(dp[i-1][v],dp[i-1][v-k*c[i]+k*w[i]]) 0<=k*c[i]<=V

我们发现这样的算法的复杂度非常高，我们需要简化算法，这时候呢，我们就引入把一种物品，拆成多件物品的思想，我们引入二进制拆解法，

更高效的转化方法是：把第i种物品拆成费用为c[i]*2^k、价值为w[i]*2^k的若干件物品，其中k满足c[i]*2^k<V。这是二进制的思想，因为不管最优策略选几件第i种物品，总可以表示成若干个2^k件物品的和。这样把每种物品拆成O(log(V/c[i]))件物品，是一个很大的改进。但我们有更优的O(VN)的算法。 * O(VN)的算法这个算法使用一维数组，先看伪代码： <pre class"example"> for i=1..N for v=0..V f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

具体二进制是什么思想呢

把它的件数C 用二进制分解成若干个件数的集合，这里面数字可以组合成任意小于等于C的件数，而且不会重复，之所以叫二进制分解，是因为这样分解可以用数字的二进制形式来解释
比如：7的二进制 7 = 111 它可以分解成 001 010 100 这三个数可以组合成任意小于等于7 的数，而且每种组合都会得到不同的数

15 = 1111 可分解成 0001 0010 0100 1000 四个数字
如果13 = 1101 则分解为 0001 0010 0100 0110 前三个数字可以组合成 7以内任意一个数，即1、2、4可以组合为1——7内所有的数，加上 0110 = 6 可以组合成任意一个大于6 小于等于13的数，比如12，可以让前面贡献6且后面也贡献6就行了。虽然有重复但总是能把 13 以内所有的数都考虑到了，基于这种思想去把多件物品转换为，多种一件物品，就可用01 背包求解了。

我们发现完全背包和01背包的区别就在于第二层循环，也就是体积循环的相反，因为加选一件第i种物品”这种策略时，却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果f[i][v-c[i]]，所以就可以并且必须采用v= 0..V的顺序循环。

再贴下完全背包的代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string.h>
#include<string>
#include<set>
#include<algorithm>
#include<cmath>

#define ll __int64
#define MAX 100009
#define Max 10000009
using namespace std;

int c[MAX];
int v[MAX];
int w[MAX];
int dp[MAX];
int V;
int n;

int main()
{
int t;
cin>>t;
while(t--)
{
int x,y;
cin>>x>>y;
V = y - x;
for(int i = 1;i<=V;i++) dp[i] = Max;
cin>>n;
for(int i = 1;i<=n;i++)
{
cin>>v[i]>>w[i];
}
for(int i = 1;i<=n;i++)
{
for(int j = w[i];j<=V;j++)
{
dp[j] = min(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
}
}
if(dp[V]==Max)
cout<<"This is impossible."<<endl;
else
cout<<"The minimum amount of money in the piggy-bank is "<<dp[V]<<"."<<endl;
}
return 0;
}