第2章 一切皆数

现代的二进制计数法是莱布尼兹发明的，他还给出了二进制的运算法则，但当时他自己也不清楚二进制有什么用处，所以尝试用二进制来解释圣经和中国的伏羲八卦图，他认为二进制与伏羲八卦图非常吻合，也就说八卦图可能也是一套二进制的符号系统。

十进制是满十进一，二进制是满二进一，十进制里没有10，二进制里没有2。那么，冯诺依曼为什么放着常用的十进制不用，而在计算机方案里选用二进制呢？

一个重要的原因是二进制容易在物理上实现，比如有电可以看成是1，没电可以看成是0，开关闭合可以看成1，开关断开可以看成0，阳可以看成1，阴可以看成0,只要有两种状态的事物都可以表示二进制，但十进制却需要十种状态，因此，二进制比十进制实现起来容易得多。

2.1数字的编码

任意一个数字都可以用二进制表示，如表2-1所示，就是从0开始，逢二进一，不断增加“1”和“0”的个数，那么任意一个十进制数都有一个二进制数与之相对应。

表2-1 十进制与二进制对应关系

十进制	0	1	2	3	4	5	6	7	…	255	…
二进制	0	1	10	11	100	101	110	111	…	11111111	…

上表列出了十进制整数的二进制表示方法，那么小数怎样用二进制表示呢？

小数可以用浮点数的方法表示，单精度浮点数总共占用32位，表示方法如图2-1所示，正数符号位是0，负数是1。

图2-1 单精度浮点数的表示方法

下面看一下5.125怎样用浮点数表示，首先进行如下换算（换算方法在后面的进制转换中详述）：

得出指数是2，按照指数部分的计算方法需要加上127，然后转化成二进制：

最终得出：符号位是0，指数部分是10000001，小数部分是01001，不足23位补零。5.125转化成浮点数最终结果如图2-2所示。

图2-2 5.125的单精度浮点表示法

不考虑符号，单精度浮点数表示的范围是：1.401298x10^-45至3.402823x10³⁸之间。

2.2英文字符编码

计算机只能存储和处理二进制数据，任何其它信息都要转化成二进制数据才能被计算机所接受。英文字符、数字字符、标点符号和控制字符可以通过ASCII码表（美国信息交换标准码）转化成二进制，如表2-2所示。ASCII码表与莫尔斯电报码相似，都是事先约定好符号代表的含义，比如65代表“A”，97代表“a”，当然，实际存储的是65、97的二进制。

表2-2 ASCII码表

注意：“1”字符的二进制编码是00110001，而1这个数字的二进制编码是00000001，计算机只认二进制，所以都要转换成二进制。

2.3汉字编码

ASCII码表只能把英文等信息编码成二进制数据，那么汉字该怎么编码呢？

汉字编码采用区位码的方式，分成94个区，每个区94个位置，总共收录了6763个汉字和682个特殊字符。这样，任意一个汉字就有一个区码和一个位码，区码加上位码就是这个汉字的编码。

汉字的区码和位码都是1到94之间，ASCII码是0到127之间，那么汉字如果直接用区位码存储，将分不清究竟是一个汉字还是两个ASCII码字符了。实际上，汉字的区码和位码都要加上128再存储，这样一来，存储的数据如果小于128就是ASCII码字符，否则就是汉字，也就能实现中英文混排了。

2.4声音的编码

声音可以通过麦克风转化成一维的电信号，图2-3是截取的一段声音信号。

图2-3 一段声音信号的采样图

那么，我们如何将这一段电信号转化成二进制数据呢？

每隔一段时间采样一次电压值，这一段电信号共被采样了13次，因此得到13个电压值，电压值接近哪一档就按哪一档算，13个值分别是（-0.2、-0.2、0.2、0.8、0.6、-0.8、-0.6、0、0.4、0、-0.6、-0.4、0.2）。

我们可以设计-1.0~1.0共11个数用如表2-3所示的二进制编码代表。

表2-3 电压值与二进制编码的对应关系

电压值	-1.0	-0.8	-0.6	-0.4	-0.2	0	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0
二进制	1011	1100	1101	1110	1111	0	0001	0010	0011	0100	0101

这样一来，13个数就编码为（1111、1111、0001、0100、0011、1100、1101、0000、0010、0000、1101、1110、0001），有了二进制数，这一段声音就能被计算机存储和处理了。

现在存在两个问题：第一个是每一个采样量化值都是近似值，是否足够精确；第二个是采样的频率是否足够稠密？

我们先来看一下第一个问题。这个例子是采用11个档次去量化的，所以恢复出来的信号与原信号会有较大的误差，如果采用256个档次或者更多档次，那么采样量化值就非常接近真实值了，恢复出来的数据也就能更接近真实值。采用的档次越多，每个采样量化值需要的二进制位数就越多（比如256档就需要8位二进制数），最终编码成的二进制数据量也就越大，精度越高，数据量也就越大。

再来看一下第二个问题。根据奈奎斯特采样定理，只要采样频率大于信号带宽的2倍，信号的信息就可以完整的保留下来。简单的说，采样的频率比信号变化的频率还大，凡是信号变化的地方都采样到了，当然也就没有丢失信息了。比如人的声音频率范围是0~3400Hz，所以采样率使用8000Hz，也就是1秒钟采样8000次，就能完整记录声音信息。音乐就要用更高的采样率，比如22500Hz或者44100Hz，这是因为乐器发出的声音频率范围更大。

使用这种方法编码出来的声音数据是原始数据（PCM数据），数据量很大，一般要采用声音的压缩算法进行压缩，比如MP3、WMA等，经过压缩后数据量能缩小为原来的1/10，但人耳一般察觉不到声音质量的损失。

其它类型的物理量都可以通过传感器转化成一维电信号，一维电信号都可以采用前面所述的方法进行编码转换成二进制数据。

2.5图像和视频的编码

如果把一幅图像进行网格化处理（如图2-4所示），每一个网格就可以算作一个像素，如果划分成1024x768个网格，那么大约有70万像素。

图2-4 图像由像素组成图

根据三基色原理，任何一种颜色都可以使用红、绿、蓝三种颜色调配出来。每一个像素必然是一种颜色，而每一种颜色都可以用三基色调配出来，所以每一个像素都可以转化成红、绿、蓝三个分量，红、绿、蓝都可以用0~255共256个档次进行划分，所以每一个像素都可以转化成3个0~255之间的数字。图像由若干像素组成，每个像素能转化成数字，自然整个图像也就转化成了一组数字，这些数字在计算机中也都以二进制的方式存在。通过图像传感器（CCD或CMOS）加上模数转化器（A/D）可以实现图像的数字化，数码相机中标称的几百万像素就是指的图像传感器的网格密度，网格密度越大图像的细节保留得就越好，当然数据量也就越大，所以大家看到得像素越高，照片文件就越大。

如果一秒钟播放25张以上的图像，那么人的眼睛看起来就是流畅的视频，所以视频可以看成一组图像，图像能用数字表示，视频当然也能用数字表示了。

数字化后的图像是原始图像，数据量也很大，可以采用JPEG等图像压缩标准进行压缩，视频可以采用MPEG-2、MPEG-4、H.264等标准进行压缩，图像能压缩为原来的几十分之一，视频能压缩为原来的几百分之一。能实现压缩的原因是：图片中某一部分相邻的像素可能近似甚至一样，视频中相邻的帧可能有一样的背景，只是一部分像素在运动，所以可以去除空间和时间上冗余，实现大幅压缩。

2.6指令的编码

计算机的指令数量都是有限的，当然一条指令可以选用一个二进制编码来表示，比如8051单片机的空指令“NOP”编码为“00000000”，再比如累加器A清零指令“CLR A”编码为“11100100”。如果指令都用二进制表示了，那么计算机只需要能存储二进制数据，就能存储计算机指令了，也就是程序可以实现存储。计算机从程序存储器中取出指令，通过指令控制其它功能单元工作，就实现了程序控制下的自动运行。

至此，大家可以看到，自然界的万事万物最终都可以化作一组数字，而计算机正是存储、处理、传输和展示数字的工具，计算机在某种意义上是不是正好体现了古希腊哲学家毕达哥拉斯的“万物皆数”的哲学思想呢？

2.7二进制的数量单位

一个二进制位（1或0）信息量为1 bit（缩写为b），8个bit为1 byte（缩写为B），主要单位换算如下：

l  1B = 8 bit；

l  1KB=1024B；

l  1MB=1024KB；

l  1GB=1024MB；

l  1TB=1024GB；

l  1PB=1024TB。

一个ASCII字符占用8位，也就是1个字节；一个汉字占用2个字节。一部《红楼梦》约70万字，信息量140万字节，所以大约需要1.4MB的存储空间存放。

一个大学的图书馆藏书约100万册，假设一本书50万字，那么100万册共需要约1TB的存储空间，也就是一块普通硬盘就可以存下，数字的神奇可见一斑。

假设网络带宽是2M，那么下载一部600MB的电影需要多少时间呢？

读者要知道，带宽2M指的是一秒钟传输2M二进制位，所需时间计算如下：

2.8进制之间的转换

计算机只能存储和传输二进制，但我们习惯使用的是十进制，有时候还使用十六进制，那么这些进制之间是怎样转化的呢？

（1）二进制转化成十进制

首先，我们看一下十进制的表示：

类似地，二进制也能这样转化：

可以看到二进制转十进制就是位值与权值之积的总和。

（2）十进制转化成二进制

要把25.125转化成二进制，应该怎样计算呢?

先把25转换成二进制，转换流程如图2-5所示。

图2-5 十进制整数转化成二进制的方法

转换方法：每次都除以2，计算出余数，最后把余数自下向上写成一个二进制数。所以：

再把0.125转换成二进制，流程如图2-6所示。

图2-6 十进制小数转化成二进制的方法

转换方法：小数部分不断乘以2，计算出整数部分，最后自上向下写成一个二进制数。所以：

，即：

（3）十六进制转换成十进制

十六进制就是满16进1，用0~9、A、B、C、D、E、F代表一位数，转成十进制的方法与二进制转十进制类似。

（4）二进制转化成十六进制

二进制转换成十六进制可以每4位二进制转换成1位十六进制，转换表如表2-4所示。

表2-4 16个数的进制对应表

十进制	0	1	2	3	4	5	6	7
十六进制	0	1	2	3	4	5	6	7
二进制	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111
十进制	8	9	10	11	12	13	14	15
十六进制	8	9	A	B	C	D	E	F
二进制	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

例如：

十六进制转换成二进制反过来就可以了，一般十六进制可以用“0xFD”或者“FDH”来表示。