向量与矩阵的范数

• 假设$向量X\in R^n,矩阵A\in R^{n\times n}$

1.向量的范数

• 向量的1-范数：$||X|{|}_1=\sum _{i=1}^n|x_i|$,各个元素绝对值之和
• 向量的2-范数：$||X|{|}_2=\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}$,各个元素的平方和再开平方
• 向量的无穷范数：$||X|{|}_{\infty }=\underset{1\le i\le n}{\max }|x_i|$,各个元素的平方和再开平方

2.矩阵的范数

• 矩阵的1-范数（列模）：$||A|{|}_1=\underset{1\le i\le n}{\max }\frac{||AX|{|}_1}{||X|{|}_1}=\underset{X̸=0}{\max }\sum _{i=1}^n|a_{ij}|$,矩阵中每列元素绝对值求和，再取其中最大值
• 矩阵的2-范数（谱模）：$||A|{|}_2=\underset{1\le i\le n}{\max }\frac{||AX|{|}_2}{||X|{|}_2}=\sqrt{{\lambda }_{max}(A^{T}A)}=\sqrt{\underset{1\le i\le n}{\max }|{\lambda }_i|}$,其中，${\lambda }_i$为$A^{T}A$的特征值，矩阵$A^{T}A$的最大特征值开平方根
• 向量的无穷范数（行模）：$||A|{|}_{\infty }=\underset{X̸=0}{\max }\frac{||AX|{|}_{\infty }}{||X|{|}_{\infty }}=\sum _{i=1}^n|a_{ij}|$,矩阵每行上的各个元素的绝对值求和，取其中最大值再开平方

• 3.范数的性质

• 1.$||A||\ge 0$
• 2.$if||A||=0,X=0$
• 3.$||aA||=|a|||X||,其中a为常数$(齐次性)
• 4.$||A+B||\le ||A||+||B||$(三角不等式)
• 5.$||AB||\le ||A||||B||$（相容性）