【头歌educoder】离散数学实训参考-第四章-数理逻辑-part2-自然推理系统

Premise:

Conclusion: (A->(B->C))<->(B->(A->C))

1. A->(B->C),B,A |- A prem

2. A->(B->C),B,A |- B prem

3. A->(B->C),B,A |- A->(B->C) prem

4. A->(B->C),B,A |- B->C imple 1,3

5. A->(B->C),B,A |- C imple 2,4

6. A->(B->C),B |- A->C impli 5

7. A->(B->C) |- B->(A->C) impli 6

8. B->(A->C),A,B |- A prem

9. B->(A->C),A,B |- B prem

10. B->(A->C),A,B |- B->(A->C) prem

11. B->(A->C),A,B |- A->C imple 9,10

12. B->(A->C),A,B |- C imple 8,11

13. B->(A->C),A |- B->C impli 12

14. B->(A->C) |- A->(B->C) impli 13

15. |- (A->(B->C))<->(B->(A->C)) equivi 7,14

第二关

并的交换律； $A\cup B \cup C = A\cup (B\cup C)$ 。

Premise: (A\/B)\/C

Conclusion: A\/(B\/C)

1. A |- A prem

2. A |- A\/(B\/C) ori 1

3. B |- B prem

4. B |- B\/C ori 3

5. B |- A\/(B\/C) ori 4

6. C |- C prem

7. C |- B\/C ori 6

8. C |- A\/(B\/C) ori 7

9. A\/B |- A\/(B\/C) ore 2,5

10. (A\/B)\/C |- A\/(B\/C) ore 9,8

第三关

并的交换律； $A \cup (B\cup C) = A\cup B \cup C$ 。

Premise: A\/(B\/C)

Conclusion: (A\/B)\/C

1. C |- C prem

2. C |- (A\/B)\/C ori 1

3. B |- B prem

4. B |- A\/B ori 3

5. B |- (A\/B)\/C ori 4

6. A |- A prem

7. A |- A\/B ori 6

8. A |- (A\/B)\/C ori 7

9. B\/C |- (A\/B)\/C ore 2,5

10. A\/(B\/C) |- (A\/B)\/C ore 9,8

第四关

命题取反，蕴含指向也取反； $L=\overline{A}\,B;R=\overline{\overline{B}}\,\overline{A}$ 。

Premise:

Conclusion: (A->B)<->(~B -> ~A)

1. A->B,~B,A |- ~B prem

2. A->B,~B,A |- A prem

3. A->B,~B,A |- A->B prem

4. A->B,~B,A |- B imple 2,3

5. A->B,~B |- ~A ni 1,4

6. A->B |- ~B -> ~A impli 5

7. ~B -> ~A,A,~B |- A prem

8. ~B -> ~A,A,~B |- ~B prem

9. ~B -> ~A,A,~B |- ~B -> ~A prem

10 ~B -> ~A,A,~B |- ~A imple 8,9

11 ~B -> ~A,A |- ~(~B) ni 7,10

12. ~B -> ~A,A |- B nne 11

13. ~B -> ~A |- A->B impli 12

14. |- (A->B)<->(~B -> ~A) equivi 6,13

第五关

与自身取反求交； $A\cap\overline{A}$ 永假。

Premise: A/\~A

Conclusion: F

1. A/\~A |- A/\~A prem

2. A/\~A |- A ande 1

3. A/\~A |- ~A ande 1

4. A/\~A |- F ne 2,3

第六关

与自身取反求交； $A\cap\overline{A}$ 永假。

Premise: F

Conclusion: A/\~A

1. F |- F prem

2. F |- ~F fi

3. F |- A/\~A ne 1,2

第七关

$Pe=\overline{A}\,\overline{B}C;Co=\overline{AB}C=(A\overline{B}+\overline{A}B+\overline{A}\,\overline{B})C$ 。

Premise: A->(B->C)

Conclusion: A/\B->C

1. A->(B->C),A/\B |- A/\B prem

2. A->(B->C),A/\B |- A ande 1

3. A->(B->C),A/\B |- B ande 1

4. A->(B->C),A/\B |- A->(B->C) prem

5. A->(B->C),A/\B |- B->C imple 2,4

6. A->(B->C),A/\B |- C imple 3,5

7. A->(B->C) |- A/\B->C impli 6

第八关

$Pr = \overline{AB}C;Co = \overline{A}\,\overline{B}C$ 。

Premise: A/\B->C

Conclusion: A->(B->C)

1. A/\B->C,A,B |- A prem

2. A/\B->C,A,B |- B prem

3. A/\B->C,A,B |- A/\B->C prem

4. A/\B->C,A,B |- A/\B andi 1,2

5. A/\B->C,A,B |- C imple 3,4

6. A/\B->C,A |- B->C impli 5

7. A/\B->C |- A->(B->C) impli 6

第九关

量词，这些题目都是显然的，主要是如何用给定的描述系统写过程。

Premise:(All x)P(x)

Conclusion:(Exist x)P(x)

1. (All x)P(x) |- (All x)P(x) prem

2. (All x)P(x) |- P(a) ae 1 (a/x)

3. (All x)P(x) |- (Exist x)P(x) ei 2 (a/x)