多项式初等函数

本页面包含多项式常见的初等函数操作。具体而言，本页面包含如下内容：

1. 多项式求逆
2. 多项式开方
3. 多项式除法
4. 多项式取模
5. 多项式指数函数
6. 多项式对数函数
7. 多项式三角函数
8. 多项式反三角函数

初等函数与非初等函数

多项式求逆

给定多项式 ，求 。

解法

倍增法

首先，易知

假设现在已经求出了  在模  意义下的逆元 。 有：

两边平方可得：

两边同乘  并移项可得：

递归计算即可。

时间复杂度

Newton's Method

参见 Newton's Method.

Graeffe 法

欲求  考虑

只需求出  即可还原出  因为  是偶函数，时间复杂度同上。

代码

多项式求逆

例题

1. 有标号简单无向连通图计数：「POJ 1737」Connected Graph

多项式开方

给定多项式 ，求 ，满足：

解法

倍增法

首先讨论  不为  的情况。

易知：

若  没有平方根，则多项式  没有平方根。

 可能有多个平方根，选取不同的根会求出不同的 。

假设现在已经求出了  在模  意义下的平方根 ，则有：

倍增计算即可。

时间复杂度

还有一种常数较小的写法就是在倍增维护  的时候同时维护  而不是每次都求逆。

当  时，可能需要使用二次剩余来计算 。

上述方法需要知道  的逆，所以常数项不能为 。

若 ，则将  分解成 ，其中 。

• 若  是奇数，则  没有平方根。

• 若  是偶数，则求出  的平方根 ，然后得到 。

洛谷模板题 P5205【模板】多项式开根 参考代码

Newton's Method

参见 Newton's Method.

例题

1. 「Codeforces Round #250」E. The Child and Binary Tree

多项式除法 & 取模

给定多项式 ，求  除  的商  和余数 。

解法

发现若能消除  的影响则可直接 多项式求逆 解决。

考虑构造变换

观察可知其实质为反转  的系数。

设 。

将  中的  替换成  并将其两边都乘上 ，得到：

注意到上式中  的系数为 ，则将其放到模  意义下即可消除  带来的影响。

又因  的次数为 ，故  不会受到影响。

则：

使用多项式求逆即可求出 ，将其反代即可得到 。

时间复杂度 。

多项式对数函数 & 指数函数

给定多项式 ，求模  意义下的  与 。

解法

普通方法

多项式对数函数多项式指数函数

首先，对于多项式 ，若  存在，则由其 定义，其必须满足：

对  求导再积分，可得：

多项式的求导，积分时间复杂度为 ，求逆时间复杂度为 ，故多项式求  时间复杂度 。

Newton's Method

使用 Newton's Method 即可在  的时间复杂度内解决多项式 。

代码

多项式 ln/exp

例题

1. 计算 

   普通做法为多项式快速幂，时间复杂度 。

   当  时，有：

   当  时，设  的最低次项为 ，则：

   时间复杂度 。

多项式三角函数

给定多项式 ，求模  意义下的  与 。

解法

首先由 Euler's formula  可以得到 三角函数的另一个表达式：

那么代入  就有：

直接按上述表达式编写程序即可得到模  意义下的  与 。再由  可求得 。

代码

多项式三角函数

多项式反三角函数

给定多项式 ，求模  意义下的  与 。

解法

仿照求多项式  的方法，对反三角函数求导再积分可得：

那么代入  就有：

直接按式子求就可以了。

代码

多项式反三角函数

参考资料与链接

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1. Elementary function——Wikipedia ↩