算法（13）动态规划----递推

一、核电站问题

1.问题引入

一个核电站有N个放核物质的坑，坑排列在一条直线上。如果连续M个坑中放入核物质，则会发生爆炸，于是，在某些坑中可能不放核物质。任务：对于给定的N和M，求不发生爆炸的放置核物质的方案总数。

输入文件只一行，两个正整数N，M( 1<N<50，2≤M≤5)

输出文件只有一个正整数S，表示方案总数。

2.思路分析

 

设f[i]为第i个坑道使不爆炸的方案数。下面用数学排列组合知识来求解：

当i<m时，f[i]=2*f[i-1];//因为第i个坑道只有放与不放2种情况

当i=m时，f[i]=2*f[i-1]-1;//第i个坑有两种情况，减去的1是前m坑道都放的情况

当i>m时，f[i]=2*f[i-1]-f[i-m-1];//这是最难理解的部分，因为无论i-m-1的情况是什么，它后面都可以接i-m到m都是放的情况。或者说：当到第I个坑时，则第一个开始连着的坑其实是I-M+1，但是由于f[I-m]包括了第I-m个坑是“填”的情况，而这种情况下，已经出现了M+1个坑是连着“填”的情况，根据最优子结构，这种情况已经排除，因此我们只需要减去I-m个坑是“不填的情况”即f[I-m-1]

 

3.代码如下

 

 

<span style="color:#330099">package 动态规划__递推;

import java.util.Scanner;

public class 核电站问题 {
	public static void main(String args[]){
		
		     long f[]=new long[50];
		    int i,n,m;
		    Scanner scanner=new Scanner(System.in);
		    n=scanner.nextInt();
		    m=scanner.nextInt();
		   
		    f[0]=1;
		    for(i=1;i<=n;i++)
		    {
		     if(i<m) f[i]=2*f[i-1];
		     if(i==m) f[i]=2*f[i-1]-1;
		     if(i>m) f[i]=2*f[i-1]-f[i-m-1];
		                     }
		    
		    System.out.print(f[n]);
	}

}</span>

 

 

二、数的划分

 

 

1.问题引入

 

将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两种划分方案不能相同(不考虑顺序)。
例如：n=7，k=3，下面三种划分方案被认为是相同的。
1 1 5

1 5 1

5 1 1
问有多少种不同的分法。

输入：n，k (6<n<=200，2<=k<=6)

 

 

 

输出：一个整数，即不同的分法。

 

如：7 3

 

4

2.思路分析

状态转移方程为：F[I][J]=max(F[i-1][j]+g[i][j-i],f[i-1][j]);

3.代码如下