动态规划_最大子数组||_1

1. 【问题描述】    最大子数组||

2. 【思路】    假设给定数组共有N个元素，令符号（i, j）表示子数组nums[i,i+1,...,j]的最大子数组的和，则所求为：

max{（0，0）+（1，N-1），（0，1）+（2，N-1）,...,（0，N-2）+（N-1，N-1）}，即需要求出（0，i）和（i+1，N-1），其中

0<=i<=N-2.用一维数组dp0保存（0，i）的值，初始化dp0[0]=（0,0）=nums[0]，用符号[0,i]表示子数组nums[0,1,...,i]包含元素nums[i]的最大子数组和，则有：dp0[i]=max{dp0[i-1]，[0,i]}. 其中1<=i<=N-2;

用一维数组dpN保存（j,N-1）的值，初始化dpN[N-1]=（N-1,N-1）=nums[N-1]，用符号【j,N-1】表示子数组nums[j,j+1,...,N-1]包含元素nums[j]的最大子数组的和，则有：dpN[j]=max{dpN[j+1]，【j,N-1】}.

分析[0,i]和【j,N-1】可以发现：

[0,0]=nums[0];

[0,i]=max{nums[i],[0,i-1]+nums[i]};      1<=i<=N-2

【N-1,N-1】=nums[N-1]，

【j,N-1】=max{nums[j],【j+1，N-1】+nums[j]};   1<=j<=N-1

下面的代码中用dp0_[i]保存[0,i]，用dp_N[j]保存【j,N-1】

3. 【代码】    

class Solution {
public:
    /**
     * @param nums: A list of integers
     * @return: An integer denotes the sum of max two non-overlapping subarrays
     */
    int maxTwoSubArrays(vector<int> nums) {
        // write your code here
        int N=nums.size();
        if(N<=0) {
            return 0;
        }
        vector<int> dp0_(N-1,0);
        dp0_[0]=nums[0];
        for(int i=1;i<N-1;++i) {
            dp0_[i]=nums[i]>=(dp0_[i-1]+nums[i])?nums[i]:(dp0_[i-1]+nums[i]);
        }
        vector<int> dp_N(N,0);
        dp_N[N-1]=nums[N-1];
        for(int j=N-2;j>=1;--j) {
            dp_N[j]=nums[j]>=(dp_N[j+1]+nums[j])?nums[j]:(dp_N[j+1]+nums[j]);
        }
        vector<int> dp0(N-1,0);
        dp0[0]=nums[0];
        for(int i=1;i<N-1;++i) {
            dp0[i]=dp0[i-1]>=dp0_[i]?dp0[i-1]:dp0_[i];
        }
        vector<int> dpN(N,0);
        dpN[N-1]=nums[N-1];
        for(int j=N-2;j>=1;--j) {
            dpN[j]=dpN[j+1]>=dp_N[j]?dpN[j+1]:dp_N[j];
        }
        int res=INT_MIN;
        for(int i=0;i<N-1;++i) {
            res=res>=(dp0[i]+dpN[i+1])?res:(dp0[i]+dpN[i+1]);
        }
        return res;
    }
};