求最大子数组！！（动态规划）

给定一个数组，当中有正负数，求当中的一段“子数组”（即任意长度，连续的数字），使得这个“子数组”的和是所有“子数组”和中最大的，
如给定的数组为12， -8， 5， 66， -21， 0 ，35， -44，7，则最大的和的子数组为{12， -8， 5， 66， -21， 0 ，35}，最大的和为89.

这就是个简单的典型的“动态规划”题目。

数组：x1,x2,x3,……xn
思路，首先是寻找最优子结构，这点要依靠一些经验规则。
这里的最优子结构就是
f(i)定义为以xi结尾的最大字串和。
那么f(i+1)就可以考虑
如果xi+1大于等于0或者f(i) + xi+1 > 0，那么f(i+1) = f(i) + xi+1；
如果f(i) + xi+1  <= 0,那么f(i+1) = 0；
递推公式就是有了。下面用DP的典型结构给出代码：

public class MaxSubSequence ...{    
    public static void main (String[] args) ...{
        int[] input = new int[]...{3,73,-95,42,43,29,-30,-87,74,-53,22,74,-91,-1,-27,-8,-14,26,-67,-74};
        
        int[] fDp = new int[input.length];    //f for dp
        //process first element
        if (input[0] > 0)
            fDp[0] = input[0];
        for (int i = 1;i < input.length;++i)...{
            if (fDp[i-1]+input[i] > 0)
                fDp[i] = fDp[i-1]+input[i];
            else
                fDp[i] = 0;
        }
        //find the max value in fDp
        int maxSun = 0;
        for (int sum : fDp)
            if (sum > maxSun)
                maxSun = sum;
                
        System.out.println("max sum : " + maxSun);
    }
    
}

  程序输出117
这里得到了正确结果，但是要求字串的位置还没实现，其实很简单，修改程序，从结果反推过程就可得到。

上面是个典型的一维DP结构的解法，算法复杂度是O（n），但是想更直接的求解，可以优化算法，不用显示创建DP数组。

class MaxSubSequence2...{
    public static void main (String[] args) ...{
        int[] input = new int[]...{3,73,-95,42,43,29,-30,-87,74,-53,22,74,-91,-1,-27,-8,-14,26,-67,-74};
        
        int fst = -1,snd = -1,tFst = 0,tSnd = 0,maxSum = 0,currSum = 0;
        for (;tSnd < input.length;++tSnd)...{
            currSum += input[tSnd];
            if (currSum > maxSum)...{
                maxSum = currSum;
                fst = tFst;
                snd = tSnd;
            }
            if (currSum < 0)...{
                currSum = 0;
                tFst = tSnd+1;
            }
        }
        
        System.out.println("max sum : " + maxSum + " from " + fst + " to " + snd);
    }
}

考虑全负数的数组，修改一点就能满足。

class MaxSubSequence2...{ 
    public static void main (String[] args) ...{ 
        int[] input = new int[]...{-95,-30,-87,-53,-91,-1,-27,-8,-14,-67,-74}; 
            
        int fst = -1,snd = -1,tFst = 0,tSnd = 0,maxSum = 0,currSum = 0; 
        int maxNum=Integer.MIN_VALUE;
            
          for (;tSnd < input.length;++tSnd)...{ 
              
            currSum += input[tSnd]; 
            if(input[tSnd]>maxNum)...{
                maxNum=input[tSnd];
            }    
            if (currSum > maxSum)...{ 
                maxSum = currSum; 
                fst = tFst; 
                snd = tSnd; 
            } 
                
            if (currSum < 0)...{ 
                currSum = 0; 
                tFst = tSnd+1; 
            } 
                
        }
        if(currSum==0)...{
            System.out.println("max sum : " + maxNum + " It's [" +maxNum+"]" );//显示第一个最大负数
            return;
        }
         System.out.println("max sum : " + maxSum + " from " + fst + " to " + snd); 
    } 
}