25、单向函数与基本假设

单向函数与基本假设

1. 单向函数概述

单向函数在非对称密码学中起着关键作用。简单来说，单向函数是一个映射 $f : X \to Y$，它易于计算，但难以求逆，即不存在高效算法来计算 $y \in Y$ 的原像。

如果要直接使用单向函数 $f$ 进行加密（如在 RSA 加密中对明文应用 $f$），那么 $f$ 必须属于一类特殊的单向函数，即陷门函数。陷门函数在知道某些信息（“陷门信息”，例如 RSA 方案中模数 $n$ 的因子分解）时容易求逆，而只有在陷门信息保密时才是单向的。

之前对单向函数的定义比较模糊，现在我们将精确界定这些术语。例如，“高效可计算”意味着可以通过概率多项式算法来计算解。

我们详细讨论三个例子：离散指数函数、模幂运算和模平方运算。离散指数函数不是陷门函数，但在密码学中有重要应用，如伪随机比特生成器、ElGamal 加密和签名方案以及数字签名算法（DSA）。

遗憾的是，没有证据证明这些函数确实是单向的，但可以精确陈述保证其单向性的基本假设，并且这些假设被广泛认为是正确的。为了定义单向性，我们不仅要考虑单个函数，更要考虑定义在适当索引集上的函数族。

2. 概率的表示法

对于布尔谓词 $B : X \to {0, 1}$，我们有记法 $prob(B(x) = 1 : x \leftarrow X) := prob({x \in X | B(x) = 1})$，它直观地表示当 $x$ 从 $X$ 中随机选取时，$B(x) = 1$ 的概率。我们将对概率算法使用类似的记法。

设 $A$ 是一个输入来自 $X$ 且输出在 $Y$ 中的概率算法，$B : X \time