33、子序列生成器、ℓ序列与M元低相关区序列集设计

子序列生成器、ℓ序列与M元低相关区序列集设计

在数字序列处理和密码学领域，子序列生成以及低相关区序列集的设计是非常重要的研究方向。下面将详细介绍子序列生成的方法以及M元低相关区序列集的设计。

子序列生成方法

FCSR合成构造法

• 算法原理 ：存在基于欧几里得算法或格近似的算法，可确定生成子序列$S_i^d$的最小反馈带进位移位寄存器（FCSR）。这些算法利用$S_i^d$的前$k$位来找到$h^ $和$q^ $，使得$h^ /q^ $是子序列的2 - 进表示，且满足$-q^ < h^ \leq 0$和$\gcd(q^ , h^ ) = 1$。随后，能找到伽罗瓦或斐波那契架构下FCSR的反馈位置和初始状态。$k$的值约为序列线性2 - 进复杂度的两倍。
• 周期关系 ：设$S = (s_0, s_1, s_2, \cdots)$是周期为$T$的周期序列，对于给定的$d > 1$和$0 \leq i \leq d - 1$，$S_i^d$是周期为$T^ $的抽取序列，则有$T^ \leq \frac{T}{\gcd(T, d)}$。若$\gcd(T, d) = 1$，则$T^ = T$。例如，当$S$是$-1/19$的2 - 进表示且$d = 3$时，$\frac{T}{\gcd(T, d)} = 6$，但$S_0^3$的周期$T^ = 2$，$S_1^3$的周期$T^* = 6$。
• 复杂度问题 ：这种方法的一个关键问题是新FCSR的规模可能比原始的大得多。一般情况下，仅知道$q^ $满足$q^ | 2^{T^ } - 1$。在允许的抽取（即$d$和$T$互质）情况下，若$S$是$h/q$（$q = p^e$，$p$为质数，$e \geq 1$且$-q \leq h \leq 0$）的2 - 进表示，$d$与$T = p^e - p^{e - 1}$互质，则$q^ $整除$2^{T/2} + 1$。基于猜想1，若$\gcd(T, d) = 1$，则$q^* > q$。当$q$为质数且$T = q - 1 = 2p$（$p$为大于2的质数）时，除$d = T/2$的平凡情况外，任何抽取的子序列的复杂度都比原始序列大。

流程图如下：

graph TD;
    A[输入序列S和抽取参数d] --> B[使用算法确定h*和q*];
    B --> C[计算周期T*];
    C --> D{判断gcd(T, d)是否为1};
    D -- 是 --> E[T* = T];
    D -- 否 --> F[T* <= T/gcd(T, d)];
    E --> G[确定FCSR反馈位置和初始状态];
    F --> G;

多步FCSR构造法

• 原理概述 ：多步FCSR是一个带有进位路径的互连移位寄存器网络，时间$t$的反馈计算直接依赖于时间$t - 1$产生的进位。将$m$位FCSR转换为$d$个子序列生成器，首先使用方程1修改移位寄存器的映射。
• 斐波那契架构 ：在斐波那契设置中，转换使用以下方程：
• $(x_i) {t + d} = \begin{cases} g(X {t + d - m + i}, c_{t + d - m + i}) \bmod 2, & \text{if } m - d \leq i < m \ (x_{i + d})_t, & \text{if } i < m - d \end{cases}$
• $c_{t + d} = g(X_{t + d - 1}, c_{t + d - 1}) / 2$
  其中$g(X_t, c_t) = h(X_t) + c_t$是斐波那契设置下FCSR的反馈函数，$h(X_t) = \sum_{i = 0}^{m - 1} a_i (x_i)_t$。由于函数$g$的性质，可将自动机分为两部分，一部分处理与移位寄存器$X_t$相关的计算，另一部分是进位路径。
• 伽罗瓦架构 ：伽罗瓦FCSR的情况更复杂，因为电路不能分为两部分，每个进位寄存器位必须单独处理。以$q = 19$的伽罗瓦FCSR为例，其基本运算符（带进位加法）的修改是获得子序列生成器的关键转换。与该FCSR关联的$d = 2$的子序列生成器定义如下：
• $t + 1$时：
  • $(x_0)_{t + 1} = (x_0)_t \oplus (x_1)_t \oplus (c_0)_t$
  • $(c_0)_{t + 1} = [(x_0)_t \oplus (x_1)_t] [(x_0)_t \oplus (c_0)_t] \oplus (x_0)_t$
• $t + 2$时：
  • $(x_0) {t + 2} = (x_0) {t + 1} \oplus (x_2) t \oplus (c_0) {t + 1}$
  • $(c_0) {t + 2} = [(x_0) {t + 1} \oplus (x_2) t] [(x_0) {t + 1} \oplus (c_0) {t + 1}] \oplus (x_0) {t + 1}$
    所有全加器在$d$个子序列生成器中被替换为$d$位波纹进位加法器。

M元低相关区序列集设计

背景与需求

在准同步码分多址（QS - CDMA）系统中，不同用户信号之间的相对码片时间延迟限制在一定时间间隔内。因此，QS - CDMA系统的性能由扩频序列在原点附近的相关性决定。低相关区（LCZ）序列是此类系统中扩频序列的理想选择。为了应用于QS - CDMA系统，需要一个包含多个序列且具有宽低相关区的LCZ序列集。然而，LCZ序列集的集合大小和LCZ大小之间存在权衡，这由Tang - Fan - Matsufuji界来描述。

设计方法

提出了一种新方法，通过交织技术从具有良好自相关的M元序列构造M元低相关区（LCZ）序列集，其中M是偶数。所构造的LCZ序列集相对于Tang - Fan - Matsufuji界是最优或接近最优的。由于在字母表大小、LCZ大小和周期的选择上具有灵活性，这种构造方法可应用于准同步码分多址环境的各种情况。

表格总结两种子序列生成方法的特点：
| 方法 | 优点 | 缺点 |
| ---- | ---- | ---- |
| FCSR合成构造法 | 理论基础明确，可确定最小FCSR | 新FCSR规模可能指数级增大，复杂度高 |
| 多步FCSR构造法 | 可利用现有FCSR结构进行转换 | 伽罗瓦架构实现复杂 |

子序列生成器、ℓ序列与M元低相关区序列集设计

两种子序列生成方法的比较

• 复杂度方面
  • FCSR合成构造法 ：此方法比线性反馈移位寄存器（LFSR）的情况更复杂。生成$S_i^d$的最小生成器的大小可能依赖于$i$，并且只能给出$q^ $的上界。在一般情况下，$q^ | 2^{T^ } - 1$；当$\gcd(d, T) = 1$时，$q^ | 2^{T/2} + 1$。基于猜想1，若$\gcd(T, d) = 1$，则$q^* > q$。特别是当$p = 2p + 1$（$p$和$q$为质数）时，生成的子序列生成器总是比原始的大。
  • 多步FCSR构造法 ：除了进位路径和带进位加法的成本外，多步FCSR实现的复杂度与LFSR的多步实现非常相似。在内存方面没有额外开销。对于伽罗瓦FCSR，逻辑门的数量为$5d×wt(q)$，其中$wt(q)$是$q$的二进制表示中1的数量，数字5对应于全加器所需的五个门（四个异或门和一个与门）。在斐波那契设置中，逻辑门的数量由特定公式给出，涉及并行位计数器的实现成本和波纹进位加法器的成本。

以下是两种方法复杂度对比表格：
| 方法 | 复杂度特点 |
| ---- | ---- |
| FCSR合成构造法 | 只能给出$q^*$上界，新生成器可能比原始大，复杂度受多种因素影响 |
| 多步FCSR构造法 | 除进位相关成本外与LFSR多步实现相似，有确定的逻辑门数量计算方式 |

• 实现难度方面
  • FCSR合成构造法 ：由于需要使用基于欧几里得算法或格近似的算法来确定$h^ $和$q^ $，并且要考虑周期关系和复杂度问题，实现过程较为复杂，对算法的理解和应用要求较高。
  • 多步FCSR构造法 ：虽然在斐波那契架构下有相对明确的转换方程，但在伽罗瓦架构下，由于电路不能简单拆分，每个进位寄存器位需单独处理，实现难度也较大。不过，它可以利用现有的FCSR结构进行转换，在一定程度上有其优势。

子序列生成与流密码的关系

在流密码的应用中，子序列生成的结果具有重要意义。特别是对于具有特定周期和参数的FCSR，如$q$为质数且$T = q - 1 = 2p$（$p$为大于2的质数）的情况，任何抽取的子序列（除$d = T/2$的平凡情况外）都具有比原始序列更大的2 - 进复杂度。这意味着在流密码中，对这样的FCSR进行抽取得到的子序列在安全性上可能更有保障，因为更高的2 - 进复杂度使得序列更难以被分析和破解。

例如，在某些流密码设计中，可能会利用子序列生成的方法来增加序列的复杂度，从而提高密码系统的安全性。通过合理选择抽取参数$d$和原始序列的参数$q$、$T$等，可以得到具有不同复杂度和特性的子序列，以满足不同的安全需求。

M元低相关区序列集设计的应用拓展

M元低相关区（LCZ）序列集的设计由于其在字母表大小、LCZ大小和周期选择上的灵活性，在准同步码分多址（QS - CDMA）环境中有广泛的应用拓展。

• 不同场景下的参数选择

  • 在一些对用户数量要求较高的场景中，可以选择较大的字母表大小$M$，以增加序列集的大小，从而容纳更多的用户。同时，根据实际的时间延迟限制，合理调整LCZ大小，以确保系统的性能。
  • 在对时间同步要求较高的场景中，可以选择较小的LCZ大小，以提高系统对时间延迟的敏感度，保证信号的准确传输。

• 与其他技术的结合

  • 可以将M元LCZ序列集设计与其他信号处理技术相结合，如信道编码技术。通过对序列进行编码，可以进一步提高信号的可靠性和抗干扰能力。
  • 还可以与自适应调整技术相结合，根据系统的实时状态和环境变化，动态调整序列集的参数，以优化系统的性能。

流程图展示M元LCZ序列集在QS - CDMA系统中的应用流程：

graph TD;
    A[确定系统需求] --> B[选择字母表大小M、LCZ大小和周期];
    B --> C[构造M元LCZ序列集];
    C --> D[应用于QS - CDMA系统];
    D --> E{系统性能评估};
    E -- 不满足要求 --> B;
    E -- 满足要求 --> F[持续运行系统];

总结与展望

子序列生成的两种方法，FCSR合成构造法和多步FCSR构造法，各有优缺点。FCSR合成构造法理论基础明确，但新生成器复杂度高；多步FCSR构造法可利用现有结构，但伽罗瓦架构实现复杂。在流密码中，子序列生成可提高序列的2 - 进复杂度，增强密码系统的安全性。M元低相关区序列集设计由于其灵活性，在QS - CDMA环境中有广泛的应用前景，可通过合理选择参数和与其他技术结合，进一步优化系统性能。

未来的研究方向可以集中在以下几个方面：
- 进一步优化子序列生成方法，降低新生成器的复杂度，提高实现效率。
- 深入研究M元LCZ序列集的性质，寻找更优的构造方法，以满足更高的性能要求。
- 探索子序列生成和M元LCZ序列集设计在其他通信系统和密码学领域的应用，拓展其应用范围。