25、极低带宽认证中的距离规避序列与序列的预期π - 进安全度量

极低带宽认证中的距离规避序列与序列的预期π - 进安全度量

1. 序列的预期π - 进安全度量相关内容

在对序列的生成器安全度量的平均行为研究中，我们将其拓展到了基于 (Z[p^{1/d}]) 形式环的代数反馈移位寄存器（AFSR）情况。不过目前仅对 (p = d = 2) 的情况进行了全面分析。

1.1 求和界定

为了界定求和式，我们定义 (A=\sum_{\ell = 1}^{k}\frac{\log_2(|N(z_{\ell})|)}{|N(z_{\ell})|})，要以 (|N(\pi^n - 1)| \geq |N(w)|)（其中 (w = \prod_{i} z_i)）来界定 (A)。函数 (\frac{\log_2(x)}{x}) 对于整数 (x \geq 3) 是递减的，所以我们可以假设 ({z_{\ell}}) 由环 (R) 中具有最小范数的 (k) 个不可约且两两互质的元素组成。

设 (j) 为正整数，考虑范数在 (2^j) 和 (2^{j - 1}) 之间的不可约元素。根据 Landau 素理想定理，这样的元素渐近于 (\frac{2^j}{\ln(2^j)}=\frac{2^j}{j\ln(2)}) 个。每个元素对 (A) 的贡献至多为 (\frac{j - 1}{2^{j - 1}})，所以每个 (j) 对 (A) 的总贡献至多为 (\frac{2}{\ln(2)})。并且，我们必须考虑的最大的 (2^j) 渐近于 (\Theta(k\log(k)))，由此可得 (A \in O(\log(k)))。

再看 (|N(w)|)，范数在 (2^m) 和 (2^{m + 1}) 之间的不可约元素对 (|N(w)|)