18、数字信号与序列的群表示设计及相关序列研究

数字信号与序列的群表示设计及相关序列研究

在数学和信号处理领域，群表示、序列设计等概念具有重要意义。下面我们将深入探讨群表示中算子公式的推导、振荡器系统的构建，以及射影德布鲁因序列和非线性递归序列的相关研究。

群表示中算子公式推导

首先，我们来看群表示中涉及的算子公式。对于群 $Sp$，它存在布鲁阿分解 $Sp = B ∪ BwB$，其中 $B$ 是博雷尔子群，$w$ 是外尔元素，$w = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 \end{pmatrix}$。博雷尔子群 $B$ 又可写成 $B = AU = UA$，这里 $A$ 是标准对角环面，$U$ 是标准幂零群，$U = \left{ \begin{pmatrix} 1 & u \ 0 & 1 \end{pmatrix} : u \in F_p \right}$。所以，布鲁阿分解也可表示为 $Sp = UA ∪ UAwU$。

在韦伊表示中，与 $Sp$ 中不同类型元素相关的算子有明确描述：
- 标准环面 $A$ 的作用 ：元素 $a = \begin{pmatrix} a & 0 \ 0 & a^{-1} \end{pmatrix}$ 作用于函数 $f$ 时，$S_a [f] (t) = \sigma (a) f \left( a^{-1}t \right)$，其中 $\sigma : F_p^{\times} \to {±1}$ 是勒让德特征，$\sigma(a) = a^{\frac{p - 1}{2}} \pmod{p}$。
- 标准幂零群 $U$ 的作用