13、m序列长度为 \(2^{2k} - 1\) 和 \(2^{k} - 1\) 的相关研究

m序列长度为 (2^{2k} - 1) 和 (2^{k} - 1) 的相关研究

1. 多项式零点相关结论

• (l_a(x)) 有 (2^e) 个零点的条件 ：对于 (l_a(x))（(A_a(x)) 的线性化齐次部分），它在 (GF(2^{ne})) 中恰有 (2^e) 个零点的充要条件是 (Z_n(a) = 0) 且 (B_n(a) \neq 0)。证明过程引用了多项式 (f_b(y) = y^{2^l + 1} + by + b)（(b \in GF(2^{ne})^*)）在 (GF(2^{ne})) 中恰有一个零点的条件，即 (b^{-1}) 具有特定形式且 (Tr_{ne}^e(v_0) \neq 0)。通过相关定理和注释，可得出 (l_a(x)) 有 (2^e) 个零点等价于 (a) 具有特定形式且 (Tr_{ne}^e(v_0) \neq 0)，最后应用相关命题和推论完成证明。
• (l_a(x)) 有 (2^{2e}) 个零点的条件 ：多项式 (l_a(x)) 从 (8) 式定义，它在 (GF(2^{ne})) 中恰有 (2^{2e}) 个零点的充要条件是 (B_n(a) = 0)。证明引用了多项式 (f_b(y) = y^{2^l + 1} + by + b)（(b \in GF(2^{ne})^*)）在 (GF(2^{ne})) 中恰有 (2^e + 1) 个零点的条件，即 (b^{-1}) 具有特定形式且 (Tr_{ne}^e(v_0) = 0)，再结合相关定理和注释，应用命题完成证明。

2. 三值和四值互相关