12、序列互相关和自相关结果解析

序列互相关和自相关结果解析

在序列分析领域，序列的互相关和自相关性质是非常重要的研究内容。它们在通信、密码学等多个领域都有广泛的应用。下面我们将深入探讨序列的相关性质以及一些特殊序列的构造和分析。

1. 序列相关的基础理论

首先，我们来看一些关于序列相关的基础理论。当 (s) 为奇数时，有(\frac{3t + 1}{2} = \frac{3rk}{2} + \frac{3s + 1}{2})，并且(2t + 2^{\frac{3t + 1}{2}} - 1 \equiv 2s + 2^{\frac{3s + 1}{2}} - 1 \pmod{2^k - 1})；当 (s) 为偶数时，(\frac{3t + 1}{2} = 3rk + \frac{3s + 1}{2} = 3rk + k + \frac{s}{2} = (3r + 1)k + \frac{s}{2} = \frac{(3r + 1)k}{2} + \frac{s}{2})，进而(2t + 2^{\frac{3t + 1}{2}} - 1 \equiv 2s + 2^{\frac{s}{2}} - 1 \pmod{2^k - 1})。

由此我们得到一个推论：设 (F = F_{2^m}) 且 (d \in \text{Gold} \cup \text{Kasami} \cup \text{Welch} \cup \text{Niho})，则 (\Theta_d(1)) 满足特定条件。

2. Gold 指数的分解

在这部分，我们令 (m = kk’)，(K = F_{2^k})，(d) 为一个 AB 指数，且它在所有子域上都是 AB 的。定义函数 (f : F_{2^m}