7、序列性质研究与随机分布估计

序列性质研究与随机分布估计

1. 模块化声纳序列的概率估计与未解决问题

对模块化声纳序列的研究中，通过计算机搜索验证了一些小值 (m) 下 (m×n) 模块化声纳序列的存在性，并借助回溯算法估计了不同 (m) 值下不等价示例的数量。然而，不能简单得出 (m) 超过某值时不存在全尺寸模块化声纳序列的结论，因为存在代数构造方法能给出无限多个 (m) 值下的全尺寸示例。不过可以推测，大 (m) 值的全尺寸示例要么来自代数构造，要么存在的概率极小。

目前仍有以下未解决问题：
1. 找到 (35×35) 模块化声纳序列（模 35）的示例，或者证明其不存在。
2. 将上述问题推广到 (m = p(p + 2)) 为孪生素数乘积的情况。
3. 找到无限多个 (m) 值，使得 (m×(m + 1)) 模块化声纳序列不存在。
4. 除 (m) 为素数或素数幂减 1 的情况外，某值接近零是否意味着序列不存在？
5. 相关估计的准确性如何？
6. 类似方法能否用于估计 Costas 阵列的数量？

2. 加法序生成序列的伪随机性质研究

在研究加法序生成序列的伪随机性质时，首先给出了相关定义和背景知识。
- 定义与背景
- 对于 (n ≥ 1)，设 (F_{p^n}) 是阶为 (p^n) 的有限域（(p) 为素数），({\alpha_1, …, \alpha_n}) 是 (F_{p^n}) 在 (F_p) 上的有序基。对于 (0 ≤ i < p^n)，定义 (\xi_i = i_1\alpha_1 + … + i_n\alpha_n)，其中 (i = i_1