2、点集与序列比较：QMC 和 RNGs 的深入解析

点集与序列比较：QMC 和 RNGs 的深入解析

1. 准蒙特卡罗（QMC）中的低有效维度

在高维空间中，要在超立方体的每个角落附近都有一个点，对于准蒙特卡罗方法而言并不实际。而随机数生成器（RNGs）能在 Ψs 中轻松生成超过 2100 个点，但随着维度 s 的增大，高维均匀性最终也会失效。

不过在 QMC 里，函数 f 常可由低维函数之和很好地近似：
[f(u) \approx \sum_{u \subseteq J} f_u(u)]
其中每个 (f_u : (0, 1)^s \to R) 仅依赖于 ({u_j, j \in u})，J 是 ({1, \ldots, s}) 的小基数子集族。为了以小误差对 f 进行积分，只需对构成近似的低维函数 (f_u) 进行小误差积分。这意味着我们仅需 Pn 在低维坐标集 (u \in J) 上的投影 (P_n(u)) 具有高均匀性。

这里存在两种低有效维度的情况：
- 叠加意义下的低有效维度 ：当 (J = {u : |u| \leq d}) 且 d 较小时。
- 截断意义下的低有效维度 ：当 (J = {u \subseteq {1, \ldots, d}}) 且 d 较小时。

通过变量变换，在不改变 f 期望的情况下，通常可以实现低有效维度。在计算金融等领域，经过变量变换后，一维和二维函数 (f_u) 可占 f 变异性的 99% 以上。因此，一维和二维投影 (P_n(u)) 的均匀性至关重要，而高维投影则无需过多关注。

RNGs 生成的点集 Ψs 的优度指标也应考虑低维投影。例如